ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 572: Сумма нескольких векторов
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Упростите выражения с векторами
а) AB+MN+BC+CA+PQ+NM
б) FK+MQ+KP+AM+QK+PF
в) KM+DF+AC+FK+CD+CA+MP
г) AB+BA+CD+MN+DC+NM.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для упрощения векторных выражений воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника): сумма нескольких векторов равна вектору, соединяющему начало первого с концом последнего, если они образуют цепочку. Также учтём свойства: AB+BA=0 и AB=-BA.
а) AB+MN+BC+CA+PQ+NM
- Сгруппируем векторы так, чтобы концы совпадали с началами следующих:
- AB+BC+CA. По правилу замкнутого контура эта сумма равна нулевому вектору: AC+CA=AA=0.
- MN+NM. Это противоположные векторы, их сумма также равна 0.
- Остаётся вектор PQ.
- Итак, результат: 0+0+PQ=PQ.
б) FK+MQ+KP+AM+QK+PF
- Переставим векторы в удобном порядке для сложения по цепочке:
- AM+MQ+QK+KF (здесь FK заменено на -KF? Нет, лучше просто перемножить как есть).
- Давайте соберём цепочку: AM+MQ=AQ.
- AQ+QK=AK.
- AK+KF? У нас есть FK и KP,PF.
- Рассмотрим оставшиеся: FK+KP+PF. Замкнутый контур F-K-P-F, сумма равна 0.
- Тогда всё выражение равно AM+MQ+QK+0=AK+QK? Нет, давайте внимательнее.
- Цепочка: AM+MQ+QK+KF? У нас нет KF, есть FK.
- Перегруппируем: (AM+MQ)+(QK+KF)? Нет KF.
- Посмотрим на векторы: FK,MQ,KP,AM,QK,PF.
- Сложим AM+MQ=AQ.
- Сложим AQ+QK=AK.
- Сложим AK+KF? У нас есть FK, то есть -KF. И ещё KP+PF=KF.
- Значит, KP+PF=KF.
- Теперь имеем: AK+KF+FK.
- AK+KF=AF.
- AF+FK=AK.
- Проверим другой путь: AM+MQ+QK+KF+FP+… стоп.
- Давайте просто просуммируем все по порядку, меняя местами слагаемые (сложение коммутативно): AM+MQ+QK+KF (если бы было KF). Но у нас FK. KP+PF=KF. Тогда набор: AM,MQ,QK,KF,FK. AM+MQ=AQ. AQ+QK=AK. AK+KF=AF. AF+FK=AK. Ответ: AK.
в) KM+DF+AC+FK+CD+CA+MP
- Группируем:
- AC+CA=0.
- DF+FK+KD? У нас есть CD и DF. CD+DF=CF. CF+FK=CK. Осталось: KM+MP+CK. KM+MP=KP. Итог: CK+KP=CP.
г) AB+BA+CD+MN+DC+NM
- AB+BA=0.
- CD+DC=0.
- MN+NM=0.
- Сумма всех нулей равна 0.
а) PQ
б) AK
в) CP
г) 0
В пункте а) ключ учебника (-2EF) явно ошибочен или относится к другой задаче, так как в условии нет точек E и F. В пункте б) ключ (-1/2 DC) также не соответствует условию (нет точек D, C в нужной конфигурации для такого результата, да и коэффициент 1/2 невозможен при простом суммировании целых векторов без деления). Решение дано строго по условиям задачи.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 572 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 572?
Краткий ответ: а) PQ; б) AK; в) CP; г) 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Сумма нескольких векторов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.