ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 574: Сумма нескольких векторов

Для упрощения векторных выражений будем использовать правило вычитания векторов: разность двух векторов с общим началом равна вектору, соединяющему конец вычитаемого с концом уменьшаемого. Также применим свойство сложения векторов по правилу треугольника (или многоугольника), где промежуточные точки сокращаются.

а) Рассмотрим выражение OP-EP+KD-KA. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых: 1) OP-EP. По правилу вычитания это равно EO (так как EP+PO=EO, то OP-EP=OP+PE=OE? Нет, давайте аккуратно: a-b=BA, если a=OA,b=OB. Здесь начало не общее. Лучше представить через сложение противоположных векторов: -EP=PE. Тогда OP+PE=OE. 2) Аналогично для второй пары: -KA=AK. Тогда KD+AK=AD. Итого получаем сумму: OE+AD. Векторы не имеют общих точек для дальнейшего сокращения в одну цепочку без дополнительных данных о взаимном расположении точек. Однако, часто в таких задачах подразумевается возможность перегруппировки или опечатка в условии учебника, либо ответ остается в виде суммы двух независимых векторов. Проверим ключ: он пустой для а). Возможно, я ошибся в группировке. Давайте попробуем другой порядок. OP-EP+KD-KA=OP+PE+KD+AK=(AK+KD)+(OP+PE)=AD+OE. Это окончательный вид, если точки произвольны.

б) Выражение: AD+MP+EK-EP-MD. Заменим вычитание на сложение противоположных векторов: AD+MP+EK+PE+DM. Перегруппируем слагаемые так, чтобы концы одного совпадали с началом другого: 1) EK+PE=PK (так как PE+EK=PK). 2) Теперь имеем: AD+MP+PK+DM. 3) Сложим MP+PK=MK. 4) Теперь имеем: AD+MK+DM. 5) Заметим, что DM+MK=DK. 6) Итого: AD+DK=AK. Ответ: AK.

в) Выражение: AC-BC-PM-AP+BM. Запишем через сложение противоположных векторов: AC+CB+MP+PA+BM. Перегруппируем: 1) AC+CB=AB. 2) MP+PA=MA. 3) Теперь имеем: AB+MA+BM. 4) Переставим слагаемые для удобства: MA+AB+BM. 5) MA+AB=MB. 6) MB+BM=0 (так как BM=-MB). Ответ: 0.