ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 578: Сумма нескольких векторов

План решения.

Для доказательства равенства векторов PA+PB+PC+PD=4PO воспользуемся правилом треугольника (или параллелограмма) для сложения векторов. Нам нужно выразить каждый из векторов PA,PB,PC,PD через вектор PO и векторы, лежащие в плоскости основания или связанные с центром трапеции. Ключевым фактом является то, что точка O — середина средней линии трапеции. Вспомним свойства средней линии и диагоналей трапеции.

Вычисление и доказательство.

1. Представим каждый вектор из вершины P к основанию как сумму вектора PO и вектора от точки O к соответствующей вершине основания:

2. Сложим эти четыре равенства:

3. Чтобы доказать исходное утверждение, нам необходимо показать, что сумма векторов в скобках равна нулевому вектору: OA+OB+OC+OD=0.

4. Рассмотрим трапецию ABCD. Пусть M и N — середины боковых сторон AD и BC соответственно. Тогда отрезок MN является средней линией трапеции. По условию, точка O — середина этой средней линии MN.

5. Выразим векторы OA,OB,OC,OD через векторы, идущие от середины средней линии. Воспользуемся тем, что O — середина MN, значит OM+ON=0.

6. Также заметим, что M — середина AD, поэтому MA+MD=0, а N — середина BC, поэтому NB+NC=0.

7. Запишем векторы OA,OB,OC,OD через OM и ON:

8. Подставим эти выражения в сумму OA+OB+OC+OD:

9. Сгруппируем слагаемые:

10. Так как O — середина MN, то OM=-ON, следовательно 2OM+2ON=0.

Так как M — середина AD, то MA+MD=0.

Так как N — середина BC, то NB+NC=0.

11. Таким образом, вся сумма равна нулю:

12. Возвращаясь к пункту 2, получаем:

Проверка.

Логика доказательства опирается исключительно на свойства середин отрезков и правила векторной алгебры, которые справедливы для любой выпуклой трапеции. Точка O выбрана так, чтобы компенсировать смещения вершин основания относительно центра масс проекции пирамиды на основание (в данном случае это не центр масс, а геометрическая середина средней линии, обладающая свойством симметрии сумм векторов к вершинам). Равенство выполнено.