ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 581: Сумма нескольких векторов
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Диагонали куба ABCDA_1B_1C_1D_1 пересекаются в точке O. Найдите число k, такое, что
а) AB=k·CD
б) AC1=k·AO
в) OB1=k·B1D.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения коэффициента k в каждом пункте необходимо выразить вектор из левой части равенства через вектор из правой части, используя свойства параллельности и коллинеарности векторов в кубе. Вспомним, что если два вектора лежат на одной прямой или параллельных прямых, то один является скалярным произведением другого на число k. Если направления совпадают, k>0, если противоположны — k<0. Точка O является центром симметрии куба (точкой пересечения диагоналей).
Вычисление по пунктам.
а) Рассмотрим векторы AB и CD. В основании куба ABCD стороны AB и CD параллельны и равны по длине. Однако направление вектора AB совпадает с направлением от A к B, а вектора CD — от C к D. Поскольку ABCD — квадрат, то AB=DC. Значит, CD=-DC=-AB. Отсюда следует, что AB=-1·CD. Таким образом, k=-1.
| б) Рассмотрим векторы AC1 и AO. Диагональ куба AC1 проходит через центр O. По свойству параллелепипеда (и куба как частного случая), точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам. Следовательно, длина отрезка AC1 вдвое больше длины отрезка AO, то есть </th><th>AC1</th><th>=2</th><th>AO</th><th>. Направления этих векторов совпадают (оба идут от вершины A к противоположной стороне/вершине). Поэтому AC1=2·AO. Здесь k=2. | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
в) Рассмотрим векторы OB1 и B1D. Вектор B1D соединяет вершину B1 с вершиной D. Это одна из пространственных диагоналей куба? Нет, B1 и D не являются противоположными вершинами относительно центра O так же, как A и C1. Давайте проверим координаты или геометрию. Пусть ребро куба равно a. Центр O имеет координаты (a/2,a/2,a/2), если A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),A1(0,0,a). Тогда B1(a,0,a), D(0,a,0). Вектор B1D=D-B1=(-a,a,-a). Вектор OB1=B1-O=(a/2,-a/2,a/2). Заметим, что B1D=-2·(a/2,-a/2,a/2)=-2OB1. Или наоборот: OB1=-1/2B1D. Проверим геометрически: O — середина диагонали BD1? Нет, O — середина всех главных диагоналей (AC1,BD1,CA1,DB1). Да, DB1 — это главная диагональ. Точка O лежит на ней и является её серединой. Значит, DO=OB1. А вектор B1D направлен от B1 к D. Вектор OB1 направлен от O к B1. Эти векторы сонаправлены? Нет. O лежит между D и B1. Порядок точек на диагонали: D-O-B1. Вектор B1D идет от B1 к D (против направления OB1, который идет от O к B1). Длина
|
Проверка.
а) Векторы AB и CD противоположно направлены и равны по модулю. k=-1 верно. б) Вектор AC1 длиннее AO в 2 раза и сонаправлен с ним. k=2 верно. в) Вектор OB1 составляет половину длины диагонали DB1, но направлен от центра к вершине B1, тогда как B1D направлен от вершины B1 к вершине D (то есть против OB1). Модуль B1D в 2 раза больше модуля OB1. Значит, OB1=-1/2B1D. k=-0.5 верно.
а) -1
б) 2
в) -0.5
В условии ключ ответа 'AK = ...' явно относится к другой задаче (возможно, опечатка в источнике или неверная привязка ключа). Решение построено строго на геометрических свойствах куба и определении коллинеарных векторов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 581 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 581?
Краткий ответ: а) -1; б) 2; в) -0.5.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Сумма нескольких векторов.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.