ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 582: Сумма нескольких векторов

Рассмотрим задачу на выражение разности векторов через другие векторы в параллелограмме. Нам даны точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно, а также произвольная точка пространства O. Будем использовать свойства сложения и вычитания векторов.

Пункт а)

1. Выразим вектор EF через стороны параллелограмма. По правилу треугольника: EF=EB+BF
2. Так как E — середина AB, то EB=1/2AB. Так как F — середина BC, то BF=1/2BC.
3. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому BC=AD и AB=DC. Однако нам удобнее связать это с диагональю или другими векторами. Заметим, что AC=AB+BC.
4. Подставим выражения для EB и BF: EF=1/2AB+1/2BC=1/2(AB+BC)=1/2AC
5. Отсюда следует, что AC=2EF.
6. Теперь рассмотрим искомый вектор OA-OC. По правилу вычитания векторов: OA-OC=CA
7. Так как CA=-AC, то подставляя найденное ранее соотношение, получаем: OA-OC=-2EF

Пункт б)

1. Нам нужно выразить вектор OA-OE через вектор DC.
2. По правилу вычитания векторов: OA-OE=EA
3. Точка E является серединой отрезка AB. Вектор EA направлен от E к A.
4. Вектор BA равен 2EA (так как E — середина), следовательно, EA=1/2BA.
5. В параллелограмме ABCD вектор BA противоположен вектору AB, а вектор AB равен вектору DC (противоположные стороны параллелограмма). То есть AB=DC.
6. Значит, BA=-AB=-DC.
7. Подставляем это в выражение для EA: EA=1/2(-DC)=-1/2DC
8. Таким образом, OA-OE=-1/2DC.

Примечание: Ключ из раздела «Ответы» содержит коэффициенты при неких базисных векторах a,b,c, которые не определены в условии задачи. Поскольку условие требует выразить векторы через конкретные геометрические объекты (EF и DC), мы приводим решение строго по условию, игнорируя несоответствующий ключ.