ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 583: Сумма нескольких векторов

План решения:

Для выражения разности векторов OM-ON через заданные векторы сторон трапеции воспользуемся правилом вычитания векторов и свойствами середины отрезка. Сначала представим искомую разность как один вектор NM. Затем, используя то, что точки M и N являются серединами оснований AB и CD, выразим вектор NM через сумму или разность боковых сторон AD и BC. Для этого применим метод «вставки промежуточных точек» (например, через вершины A и D или B и C).

Вычисление:

1. По правилу вычитания векторов для произвольной точки O имеем равенство: OM-ON=NM Таким образом, задача сводится к нахождению вектора NM.

2. Выразим вектор NM, проходя по ломаной через вершины трапеции. Например, можно записать: NM=ND+DA+AM

3. Используем условие, что N — середина стороны CD. Вектор ND направлен от середины к концу отрезка CD. Так как DC=DA+AC (или проще через стороны), давайте выразим всё через AD и BC. Заметим, что ND=1/2CD. Но нам удобнее работать с векторами, идущими в одну сторону относительно основания. Давайте используем другой путь или свойства медианы. Рассмотрим векторное равенство для трапеции. Пусть AD=a и BC=b. Нам нужно найти NM. Запишем NM двумя способами, используя серединные свойства: NM=NA+AM NM=NC+CB+BM Это сложно. Проще использовать формулу для вектора, соединяющего середины двух сторон четырехугольника. В любом четырехугольнике ABCD вектор, соединяющий середины противоположных сторон AB и CD (то есть MN или NM), связан с диагоналями или сторонами. Однако здесь у нас трапеция, где AB∥CD. Давайте выразим NM напрямую через AD и BC. NM=ND+DA+AM Так как N — середина CD, то ND=1/2CD. Так как M — середина AB, то AM=1/2AB. Тогда: NM=1/2CD+DA+1/2AB Перепишем CD=-DC и DA=-AD. NM=-1/2DC-AD+1/2AB Это не совсем то, что нужно. Нам нужны AD и BC. Используем замкнутый контур A-B-C-D-A: AB+BC+CD+DA=0 Отсюда CD=-DA-AB-BC=AD-AB-BC. Подставим это в выражение для NM: NM=1/2(AD-AB-BC)-AD+1/2AB Раскроем скобки: NM=1/2AD-1/2AB-1/2BC-AD+1/2AB Слагаемые с AB сокращаются (-1/2AB+1/2AB=0). Остается: NM=(1/2-1)AD-1/2BC NM=-1/2AD-1/2BC NM=-1/2(AD+BC) Проверим направление. Если трапеция стандартная, AD и BC — боковые стороны. Вектор NM идет от середины нижнего основания к середине верхнего? Нет, M на AB, N на CD. Обычно AB и CD — основания. Если AB∥CD, то вектор NM перпендикулярен основаниям только в равнобедренной трапеции. В общем случае он является средним арифметическим векторов боковых сторон с учетом направления. Давайте проверим альтернативным путем через точку O. OM=1/2(OA+OB) ON=1/2(OC+OD) OM-ON=1/2(OA+OB-OC-OD) Группируем: =1/2[(OA-OD)+(OB-OC)] =1/2[DA+CB] Так как DA=-AD и CB=-BC, получаем: =1/2[-AD-BC]=-1/2(AD+BC) Ответ: OM-ON=-1/2(AD+BC).

Проверка:

Рассмотрим частный случай параллелограмма, где ABCD — параллелограмм. Тогда AD=BC (если считать их равными по модулю и направлению? Нет, в параллелограмме AD=BC неверно, верно AD=BC если порядок вершин A,B,C,D против часовой стрелки? Нет, AD=BC означает, что AD параллельно и равно BC. В параллелограмме ABCD вектор AD равен вектору BC только если это не так. В параллелограмме AD=BC? Нет, AD=BC было бы верно для ABCD если бы это был... Стоп. В параллелограмме ABCD: AB=DC и AD=BC. Да, это верно. Если ABCD — параллелограмм, то середины M и N совпадают? Нет, M — середина AB, N — середина CD. Отрезок MN проходит через центр симметрии. В параллелограмме NM должен быть равен нулю? Нет. M и N разные точки. MN параллелен боковым сторонам? Нет. Давайте возьмем прямоугольник A(0,h),B(w,h),C(w,0),D(0,0). M(w/2,h), N(w/2,0). NM=(0,h). AD=(0,-h) (от A до D). BC=(0,-h) (от B до C). Формула: -1/2(AD+BC)=-1/2((0,-h)+(0,-h))=-1/2(0,-2h)=(0,h). Совпадает с NM. Решение верно.