ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 588: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства компланарности двух векторов достаточно показать, что один из них выражается линейной комбинацией другого (то есть они коллинеарны), либо использовать определение: три вектора компланарны, если один из них можно выразить через два других. В данной задаче нам дано, что a∥c и b∥c. Это означает, что существуют такие числа k и m, что a=kc и b=mc. Если мы сможем представить каждый из проверяемых векторов в виде λc, то он будет коллинеарен c, а значит, пара этих векторов всегда лежит в одной плоскости (компланарна).

Вычисление по пунктам.

а) Рассмотрим вектор a+b. Подставим выражения через c: a+b=kc+mc=(k+m)c Так как a+b является произведением вектора c на число (k+m), то векторы a+b и c коллинеарны. Коллинеарные векторы всегда компланарны.

б) Рассмотрим вектор a-b: a-b=kc-mc=(k-m)c Вектор a-b коллинеарен c, следовательно, они компланарны.

в) Рассмотрим вектор a+3b: a+3b=kc+3(mc)=(k+3m)c Вектор a+3b коллинеарен c, следовательно, они компланарны.

г) Рассмотрим вектор -a+2b: -a+2b=-(kc)+2(mc)=(-k+2m)c Вектор -a+2b коллинеарен c, следовательно, они компланарны.

Проверка и вывод.

Во всех четырех случаях мы получили, что первый вектор представляет собой скалярное умножение второго вектора (c) на некоторое число. Согласно теореме о коллинеарных векторах, если два вектора коллинеарны, то они лежат на параллельных прямых или на одной прямой, что автоматически означает их принадлежность к одной плоскости (или бесконечному множеству плоскостей, проходящих через эти прямые). Таким образом, утверждение верно для всех пунктов.