ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 592: Метод координат в пространстве

План решения.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных ей плоскостях. В пространстве любые два вектора всегда компланарны. Для проверки третьего вектора на компланарность с первыми двумя можно использовать геометрические свойства параллелепипеда: если один из векторов выражается через линейную комбинацию двух других (или параллелен им), то тройка компланарна. Также важно помнить, что ребра, выходящие из одной вершины, не компланарны, так как они задают базис пространства.

Вычисление и анализ каждого пункта.

• а) AA₁,CC₁,BB₁ .
  В параллелепипеде боковые ребра взаимно параллельны и равны. Следовательно, AA₁=BB₁=CC₁. Поскольку все три вектора коллинеарны (параллельны друг другу), они автоматически лежат в любой плоскости, содержащей одну из их прямых. Таким образом, эта тройка компланарна .
• б) AB,AD,AA₁ .
  Эти векторы исходят из одной вершины A и являются смежными рёбрами параллелепипеда. По определению параллелепипеда, эти три направления не лежат в одной плоскости (они образуют пространственный угол). Если бы они были компланарны, объём параллелепипеда был бы равен нулю. Следовательно, эта тройка не компланарна .
• в) B₁B,AC,DD₁ .
  Заметим, что B₁B=-BB₁ и DD₁=AA₁. Так как BB₁=AA₁, то B₁B и DD₁ — это противоположно направленные векторы, лежащие на параллельных прямых. Они коллинеарны. Любой набор векторов, среди которых есть хотя бы два коллинеарных, является компланарным? Нет, это верно только если третий вектор лежит в той же плоскости. Однако здесь проще: векторы B₁B и DD₁ параллельны вертикальному направлению. Вектор AC лежит в плоскости основания ABCD. Плоскость, проходящая через диагональ AC и параллельная боковым рёбрам (например, плоскость ACC₁A₁), содержит вектор AC и все векторы, параллельные AA₁ (а значит, и B₁B,DD₁). Все три вектора лежат в этой диагональной плоскости. Следовательно, эта тройка компланарна .
• г) AD,CC₁,A₁B₁ .
  Рассмотрим векторы по отдельности. AD лежит в плоскости основания. CC₁ параллелен боковому ребру. A₁B₁ параллелен AB (так как грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны и равны). Таким образом, мы проверяем компланарность векторов AD, AB (эквивалент A₁B₁) и AA₁ (эквивалент CC₁). Это те же самые три вектора, что и в пункте б), просто взятые из разных мест. Как было установлено ранее, три вектора, соответствующие трём измерениям параллелепипеда, не лежат в одной плоскости. Следовательно, эта тройка не компланарна .

Проверка.

Для пункта а): коллинеарные векторы всегда компланарны. Верно.
Для пункта б): базисные векторы параллелепипеда не компланарны. Верно.
Для пункта в): векторы B₁B и DD₁ параллельны AA₁. Вектор AC лежит в плоскости ABCD. Плоскость ACC₁A₁ проходит через AC и параллельна AA₁. Значит, все три вектора параллельны этой плоскости или лежат в ней. Верно.
Для пункта г): замена A₁B₁ на AB и CC₁ на AA₁ сводит задачу к проверке компланарности AD,AA₁,AB, которые являются ребрами угла при вершине A. Они не компланарны. Верно.