ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 596: Векторы в пространстве

План решения.

Для разложения векторов в параллелепипеде будем использовать правило треугольника (или многоугольника) для сложения векторов. Нам нужно представить заданный вектор как сумму базисных векторов, выходящих из одной точки или связанных цепочкой равенств. Вспомним свойства параллельного переноса: противоположные ребра параллелепипеда равны и параллельны, поэтому соответствующие им векторы равны.

Вычисление пункта а).

Требуется разложить вектор BD₁ по векторам BA, BC и BB₁. Рассмотрим путь от точки B к точке D₁. Мы можем пройти через точку D, но нам удобнее использовать векторы, исходящие из вершины B или связанные с ней. Запишем вектор BD₁ как сумму векторов, идущих «по рёбрам»: BD₁=BA+AD+DD₁ Теперь выразим промежуточные векторы AD и DD₁ через искомые базисные векторы BA, BC, BB₁. 1. Вектор AD равен вектору BC, так как ABCD — параллелограмм (основание параллелепипеда), и AD∥BC, AD=BC. Направление совпадает (A→D аналогично B→C). 2. Вектор DD₁ равен вектору BB₁, так как боковые рёбра параллелепипеда параллельны и равны. Подставим эти равенства в исходную формулу: BD₁=BA+BC+BB₁

Вычисление пункта б).

Требуется разложить вектор B₁D₁ по векторам A₁A, A₁B и A₁D₁. Здесь базисные векторы исходят из разных точек или направлены специфически. Давайте сначала упростим сам вектор B₁D₁. Вектор B₁D₁ является диагональю верхнего основания A₁B₁C₁D₁. По правилу треугольника для основания: B₁D₁=B₁A₁+A₁D₁ Нам нужно выразить B₁A₁ через данные векторы A₁A, A₁B, A₁D₁. Обратите внимание на вектор A₁B. Он соединяет A₁ и B. Разложим его по пути через A: A₁B=A₁A+AB Отсюда выразим вектор AB: AB=A₁B-A₁A Так как B₁A₁=BA (векторы противоположных граней равны и сонаправлены? Нет, проверим направление). В параллелепипеде B₁A₁=BA. А BA=-AB. Следовательно, B₁A₁=-(A₁B-A₁A)=A₁A-A₁B. Подставим это выражение в формулу для B₁D₁: B₁D₁=(A₁A-A₁B)+A₁D₁ Перегруппируем слагаемые: B₁D₁=A₁A-A₁B+A₁D₁

Проверка.

а) Сумма BA+BC+BB₁ дает вектор, идущий от B до A, затем параллельным переносом от A до D (так как AD=BC), затем от D до D₁ (так как DD₁=BB₁). Итоговый путь B→A→D→D₁ эквивалентен вектору BD₁. Верно. б) Проверим пункт б. Вектор A₁A-A₁B+A₁D₁. A₁A-A₁B=A₁A+BA₁=BA₁+A₁A=BA. Тогда выражение равно BA+A₁D₁. Так как A₁D₁=AD, то сумма равна BA+AD=BD. Но мы искали B₁D₁. В параллелепипеде B₁D₁=BD. Значит, результат верен.