10–11 классы Векторы в пространстве § 2. Векторы в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 598: Векторы в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Никита Ершов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 596 599 →

Условие

Диагонали параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 пересекаются в точке O. Разложить вектор CD по векторам AA_1, AB и AD.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для разложения вектора CD по базисным векторам AA₁, AB и AD необходимо выразить искомый вектор через эти три направления. В параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, что позволяет заменять векторы на равные им. Точка пересечения диагоналей O в данном условии является избыточной информацией для самого факта разложения, так как свойства параллелепипеда определяют равенство векторов независимо от центра симметрии.

Вычисление.

Рассмотрим вектор CD. По определению параллелепипеда, ребро CD параллельно и равно ребру BA. Следовательно, вектор CD равен вектору BA:

CD=BA

Вектор BA является противоположным к вектору AB:

BA=-AB

Таким образом, мы получили выражение вектора CD только через один из заданных базисных векторов — AB. Коэффициенты при остальных базисных векторах (AA₁ и AD) будут равны нулю, так как вектор CD лежит в плоскости основания и не имеет составляющих вдоль высоты или другого ребра основания.

Итоговая формула разложения:

CD=0·AA₁+(-1)·AB+0·AD

Или в более компактном виде:

CD=-AB

Проверка.

Проверим логическую корректность результата. Вектор AB направлен от вершины A к вершине B. Вектор CD направлен от вершины C к вершине D. В основании ABCD (которое является параллелограммом) стороны AB и CD параллельны и равны, но направлены в противоположные стороны относительно обхода контура, если рассматривать их как свободные векторы в контексте равенства AB=DC. Отсюда следует, что CD=-DC=-AB. Результат совпадает с полученным выше. Упоминание точки O не влияет на линейную зависимость векторов рёбер, поэтому решение верно.

Ответ

CD=-AB

В условии дано лишнее указание на точку пересечения диагоналей O, которое не требуется для выполнения задания. Разложение выполняется непосредственно через свойства параллелепипеда: CD || AB и CD = AB, но направления противоположны.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 598 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 598?

Краткий ответ: CD = - AB.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Векторы в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.