ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 602: Векторы в пространстве

План решения.

Для разложения векторов OM и OK по базису a,b,c воспользуемся свойствами параллелограмма и правилами сложения векторов. Сначала выразим вектор AB через заданные векторы, затем найдем AM и OM. После этого определим положение точки K как середины отрезка MD и выразим OK через уже найденные величины.

Вычисление.

1. Разложение вектора OM. Так как ABCD — параллелограмм, то AD=BC. Выразим BC через векторы из точки O: BC=OC-OB=c-b Следовательно, AD=c-b. Точка M — середина AB, значит AM=1/2AB. Найдем AB: AB=OB-OA=b-a Тогда AM=1/2(b-a). Вектор OM можно найти как сумму OA+AM: OM=a+1/2(b-a)=a+1/2b-1/2a=1/2a+1/2b

2. Разложение вектора OK. Точка K — середина отрезка MD. По формуле для вектора, идущего в середину отрезка, имеем: OK=1/2(OM+OD) Нам нужно выразить OD. Так как ABCD — параллелограмм, диагонали делятся пополам, или проще использовать цепочку: OD=OA+AD. Мы уже нашли, что AD=c-b. Тогда: OD=a+(c-b)=a-b+c Подставим выражения для OM и OD в формулу для OK: OK=1/2[(1/2a+1/2b)+(a-b+c)] Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах: OK=1/2[(1/2+1)a+(1/2-1)b+c]=1/2[3/2a-1/2b+c] Раскроем скобки: OK=3/4a-1/4b+1/2c

Проверка.

Проверим корректность коэффициентов. Для вектора OM сумма коэффициентов равна 1/2+1/2=1, что верно, так как конец вектора лежит на прямой AB (аффинная комбинация). Для вектора OK сумма коэффициентов: 3/4-1/4+1/2=2/4+2/4=1. Это также согласуется с тем, что точка K является аффинной комбинацией точек пространства относительно начала O. Логика построения через середины отрезков соблюдена верно.