ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 603: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства равенства векторов в пространстве удобно использовать метод разложения по базису или свойства линейности векторных операций. Мы выразим векторы OA, OB и OC через вектор OM и векторы, идущие от центра тяжести к вершинам треугольника. Ключевым свойством медианного центра (центроида) является то, что сумма векторов, направленных из него к вершинам треугольника, равна нулевому вектору: MA+MB+MC=0.

Вычисление.

Рассмотрим произвольную точку O и точку пересечения медиан M. По правилу треугольника для сложения векторов можно записать:

Сложим эти три равенства почленно:

Сгруппируем слагаемые:

Так как M — точка пересечения медиан треугольника ABC, известно геометрическое свойство центроида: сумма векторов, исходящих из точки пересечения медиан к вершинам, равна нулю. Докажем это кратко: пусть D — середина стороны BC. Тогда MB+MC=2MD. Так как M лежит на медиане AD и делит её в отношении 2:1 считая от вершины, то AM=2MD, откуда следует MA=-2MD. Следовательно, MA+MB+MC=-2MD+2MD=0.

Подставив это значение в наше уравнение, получаем:

Разделим обе части равенства на 3:

Что и требовалось доказать.

Проверка.

Если выбрать точку O совпадающей с точкой M, то левая часть равенства превращается в нулевой вектор MM=0. Правая часть примет вид 1/3(MA+MB+MC). Как мы показали выше, эта сумма действительно равна нулю. Равенство выполняется. Если выбрать O в бесконечности или в любой другой точке, линейность операции сложения векторов гарантирует сохранение соотношения. Решение корректно.