ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 607: Векторы в пространстве

План решения.

В правильном тетраэдре ABCD все грани — равносторонние треугольники. Высоты граней являются также медианами и биссектрисами. Точка пересечения высот (ортоцентр) грани совпадает с её центром тяжести. Векторы a=DA, b=DB, c=DC образуют базис. Нам нужно выразить векторы DN, DK, AM и MK через этот базис, используя свойства центра тяжести и линейные комбинации.

Вычисление.

а) Разложение вектора DN.

Рассмотрим грань ABC. Так как тетраэдр правильный, то DN — высота этой грани, проведённая из вершины D к стороне AC? Нет, в условии сказано: "Высоты AM и DN... пересекаются". Обычно в тетраэдре ABCD высота DN опускается из вершины D на противоположную грань ABC. Но если N лежит на грани ABC, то DN — это отрезок от вершины до плоскости. Однако, судя по стандартным задачам такого типа и ключу, здесь речь идет о высотах граней , лежащих в одной плоскости или связанных геометрически. Давайте уточним геометрию.

В правильном тетраэдре ABCD: 1. M — центр грани BCD (так как AM — высота тетраэдра, опущенная из A на грань BCD). В правильном тетраэдре высота проходит через центр тяжести грани. 2. N — центр грани ABC (так как DN — высота тетраэдра, опущенная из D на грань ABC). Тогда точка K — это пересечение высот тетраэдра, то есть его ортоцентр. В правильном тетраэдре ортоцентр совпадает с центром тяжести всего тетраэдра. Найдем координаты центров граней относительно начала в точке D. Центр тяжести грани ABC (точка N) выражается через радиус-векторы вершин A,B,C: DN=1/3(DA+DB+DC)=1/3a+1/3b+1/3c. Это соответствует пункту а).

б) Разложение вектора DK.

Точка K — центр тяжести тетраэдра ABCD. Радиус-вектор центра тяжести тетраэдра равен среднему арифметическому радиус-векторов всех четырех вершин (A,B,C,D): DK=1/4(DA+DB+DC+DD). Так как DD=0, получаем: DK=1/4(a+b+c)=1/4a+1/4b+1/4c. Это соответствует пункту б).

в) Разложение вектора AM.

Точка M — центр грани BCD. Выразим DM через базис: DM=1/3(DB+DC+DD)=1/3(b+c). Вектор AM можно найти как разность радиус-векторов конца и начала: AM=DM-DA=1/3b+1/3c-a=-a+1/3b+1/3c. Это соответствует пункту в).

г) Разложение вектора MK.

Вектор MK=DK-DM. Подставим найденные ранее выражения: DK=1/4a+1/4b+1/4c, DM=0·a+1/3b+1/3c. Тогда: MK=(1/4a+1/4b+1/4c)-(1/3b+1/3c)=1/4a+(1/4-1/3)b+(1/4-1/3)c. Вычислим коэффициенты при b и c: 1/4-1/3=3-4/12=-1/12. Итак: MK=1/4a-1/12b-1/12c. Это соответствует пункту г).

Проверка.

Проверим логичность результатов. В правильном тетраэдре центр тяжести делит высоту в отношении 3:1, считая от вершины. То есть AK:KM=3:1, откуда MK=1/4MA=-1/4AM. Давайте проверим это соотношение для нашего ответа. AM=-a+1/3b+1/3c. -1/4AM=1/4a-1/12b-1/12c. Это в точности совпадает с полученным нами выражением для MK. Значит, решение верно.