ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 610: Векторы в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Даны точки A_1, B_1, C_1 и M — основания перпендикуляров к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки M пересечения медиан этого треугольника (см. рис. 172). Требуется доказать равенство MM1=1/3(AA_1 + BB1+CC1) и определить условия, при которых это равенство выполняется.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства MM1=1/3(AA1+BB1+CC1) воспользуемся методом векторов. Введем систему координат или будем работать с радиус-векторами точек относительно произвольного начала отсчета. Ключевым шагом является установление связи между центроидом (точкой пересечения медиан) исходного треугольника ABC и его проекцией на плоскость α. Согласно указанию учебника, сначала нужно доказать, что точка M1 является центроидом треугольника A1B1C1, а затем использовать свойства векторных сумм для медиан.
Вычисление и доказательство.
Пусть O — произвольная точка в пространстве. Обозначим радиус-векторы вершин треугольника ABC как a=OA, b=OB, c=OC. Так как M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то её радиус-вектор m=OM выражается формулой:
m=1/3(a+b+c)Точки A1,B1,C1,M1 являются ортогональными проекциями точек A,B,C,M на плоскость α. Пусть n — единичный вектор нормали к плоскости α. Расстояние от точки до плоскости можно выразить через скалярное произведение радиус-вектора этой точки на нормаль (с учетом знака и положения начала координат). Однако более наглядно рассмотреть векторы, соединяющие точку с её проекцией.
Вектор MM1 параллелен вектору AA1, BB1 и CC1, так как все они перпендикулярны одной и той же плоскости α. Следовательно, эти векторы коллинеарны. Запишем их через разность радиус-векторов:
MM1=m1-m, AA1=a1-a,…Здесь a1,b1,c1,m1 — радиус-векторы проекций. Поскольку проекция линейна, то есть проекция суммы равна сумме проекций, имеем:
m1=projα(m)=projα(1/3(a+b+c))=1/3(a1+b1+c1)Это равенство означает, что точка M1 действительно является точкой пересечения медиан треугольника A1B1C1 (так как радиус-вектор центроида треугольника A1B1C1 также равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин).
Теперь рассмотрим длины векторов. Так как векторы AA1,BB1,CC1 направлены вдоль одной прямой (нормали к плоскости), их алгебраические длины (проекции на ось z, если плоскость xy) складываются аналогично векторам. Если мы выберем начало координат так, чтобы плоскость α была задана уравнением z=0, то длина перпендикуляра от точки (x,y,z) до плоскости равна |z|. Радиус-вектор M имеет z-координату zM=1/3(zA+zB+zC). Тогда расстояние MM1=|zM|=|1/3(zA+zB+zC)|. Расстояния AA1=|zA|, BB1=|zB|, CC1=|zC|. Утверждение задачи требует доказать MM1=1/3(AA1+BB1+CC1), то есть:
|zA+zB+zC/3|=|zA|+|zB|+|zC|/3Это равенство модулей верно тогда и только тогда, когда числа zA,zB,zC имеют одинаковые знаки (или некоторые из них равны нулю). Геометрически это означает, что вершины треугольника ABC лежат по одну сторону от плоскости α (или на самой плоскости).
Проверка и условия выполнения.
Если треугольник ABC пересекает плоскость α (то есть вершины лежат по разные стороны от неё), то алгебраические расстояния будут иметь разные знаки. Например, пусть zA>0,zB>0,zC<0. Тогда
| ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Таким образом, доказанное равенство выполняется при условии, что все три вершины треугольника ABC расположены по одну сторону от плоскости α либо лежат на ней. |
Доказано: M1 — центроид △A1B1C1. Равенство MM1=1/3(AA1+BB1+CC1) верно, если вершины A,B,C лежат по одну сторону от плоскости α.
Задача сводится к свойству линейности ортогональной проекции и неравенству треугольника для модулей. Важно подчеркнуть условие однополярности расстояний.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 610 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 610?
Краткий ответ: Доказано: M_1 — центроид A_1B_1C_1. Равенство MM_1 = 13(AA_1 + BB_1 + CC_1) верно, если вершины A, B, C лежат по одну сторону от плоскости.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Векторы в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.