ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 613: Объём шара и площадь сферы

Для решения задач на сложение векторов в пространстве воспользуемся правилом параллелограмма и свойством равенства противоположных граней параллелепипеда. Вспомним, что если ABCD — параллелограмм, то AB=DC и AD=BC. Также применим правило треугольника: AC=AB+BC.

а) Докажем равенство MQ+M₁Q₁=N₁P₁+NP.

1. Рассмотрим левую часть равенства. В параллелепипеде верхнее основание M₁N₁P₁Q₁ равно нижнему основанию MNPQ. Следовательно, вектор M₁Q₁ равен вектору MQ (так как это соответствующие диагонали равных параллелограммов, направленные одинаково). Тогда левая часть равна 2MQ.
2. Рассмотрим правую часть. Аналогично, вектор N₁P₁ равен вектору NP (диагонали верхнего основания равны диагоналям нижнего). Тогда правая часть равна 2NP.
3. Осталось проверить, верно ли, что MQ=NP. В основании MNPQ (параллелограмме) диагонали не равны по направлению друг другу в общем случае. Однако, давайте посмотрим внимательнее на структуру равенства. Возможно, здесь опечатка в условии или я неверно интерпретировал обозначения вершин. Обычно вершины нумеруются последовательно. Если MNPQ — параллелограмм, то MQ и NP — это стороны? Нет, M-N-P-Q обычно идут по периметру. Тогда MN=QP и MQ=NP только если это прямоугольник или ромб с определенными свойствами? Нет, в произвольном параллелограмме MQ и NP — это векторы, соединяющие противоположные вершины? Нет, M и Q соседние, N и P соседние. Значит, MQ и NP — это боковые стороны? Если порядок вершин M,N,P,Q, то стороны MN,NP,PQ,QM. Тогда QM=-MQ. А NP — это сторона. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны: MN=QP и MQ=NP (если считать направление от первой буквы ко второй, то QM и PN равны, а MQ и NP тоже равны, так как они направлены в одну сторону относительно контура? Нет. MQ идет из M в Q. NP идет из N в P. В параллелограмме MNPQ вектор MQ равен вектору NP только если MN параллельно QP и MQ параллельно NP. Да, это свойства параллелограмма. Противоположные стороны параллельны и равны. Направление: обход M→N→P→Q→M. Сторона MQ направлена от M к Q? Нет, обычно вектор стороны задается двумя соседними вершинами. Если мы говорим о стороне MQ, то это вектор MQ. Соседняя сторона NP. Вектор MQ равен вектору NP? Посмотрим на чертеж. M(0,0),N(a,0),P(a+b,c),Q(b,c). MQ=(b,c). NP=(a+b-a,c-0)=(b,c). Да, MQ=NP.
4. Таким образом, M₁Q₁=MQ и N₁P₁=NP. Поскольку MQ=NP, то и M₁Q₁=N₁P₁.
5. Подставим в исходное равенство: MQ+M₁Q₁=MQ+MQ=2MQ. Правая часть: N₁P₁+NP=NP+NP=2NP. Так как MQ=NP, то 2MQ=2NP. Равенство доказано.

б) Докажем равенство PQ+NF₁=NQ₁.

Здесь возникает проблема с обозначением точки F₁. В стандартном параллелепипеде MNPQM₁N₁P₁Q₁ нет точки F. Вероятно, в условии опечатка, и имеется в виду точка P₁ или другая существующая вершина. Давайте проанализируем правую часть NQ₁. По правилу треугольника NQ₁=NN₁+N₁Q₁ или NQ₁=NQ+QQ₁.

Если предположить, что вместо F₁ стоит P₁, то есть PQ+NP₁=NQ₁? Это маловероятно.

Давайте посмотрим на типичные задачи этого типа. Часто встречается сумма PQ+PP₁=PQ₁. Или PQ+QN=PN.

Предположим, что в условии ошибка и должно быть PQ+QQ₁=PQ₁? Нет, справа NQ₁.

Попробуем разложить NQ₁ через промежуточные точки. NQ₁=NP+PQ+QQ₁.

Сравним с левой частью: PQ+NF₁. Если приравнять, то NF₁ должен быть равен NP+QQ₁.

В параллелепипеде QQ₁=PP₁=NN₁=MM₁.

Тогда NP+NN₁=NP₁. То есть NF₁ должно быть равно NP₁. Это означает, что F₁ совпадает с P₁.

Проверим вариант: PQ+NP₁=NQ₁?

NP₁=NP+PP₁.

Левая часть: PQ+NP+PP₁.

Порядок слагаемых можно менять: (NP+PQ)+PP₁=NQ+PP₁.

Так как PP₁=QQ₁, то NQ+QQ₁=NQ₁.

Это совпадает с правой частью.

Следовательно, в условии пункта б) под F₁ подразумевается вершина P₁. Будем решать с этим допущением, так как других логичных замен для получения тождества нет.

1. Выразим вектор NQ₁ по правилу многоугольника: NQ₁=NP+PQ+QQ₁.
2. Преобразуем левую часть равенства PQ+NP₁ (где F₁≡P₁).
3. Разложим NP₁: NP₁=NP+PP₁.
4. Подставим: PQ+(NP+PP₁)=NP+PQ+PP₁.
5. Так как ребра параллелепипеда параллельны и равны, то PP₁=QQ₁.
6. Получаем: NP+PQ+QQ₁.
7. Группируем первые два вектора: (NP+PQ)+QQ₁=NQ+QQ₁.
8. По правилу треугольника NQ+QQ₁=NQ₁.
9. Левая часть равна правой. Равенство доказано.

в) Докажем равенство Q₁P₁+QQ₁=QP₁.

1. Рассмотрим левую часть: Q₁P₁+QQ₁.
2. Переставим слагаемые (сложение векторов коммутативно): QQ₁+Q₁P₁.
3. Применим правило треугольника для суммы двух векторов, где конец первого (Q₁) совпадает с началом второго (Q₁).
4. Сумма QQ₁+Q₁P₁ равна вектору, идущему из начала первого (Q) в конец второго (P₁).
5. То есть QQ₁+Q₁P₁=QP₁.
6. Получили правую часть равенства. Равенство доказано.