ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 612: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства того, что четыре точки являются вершинами параллелограмма, достаточно показать, что противоположные стороны этого четырёхугольника равны и параллельны. Удобнее всего использовать векторный метод: выразим векторы, соединяющие середины отрезков, через векторы рёбер тетраэдра или диагоналей граней. Если мы покажем, что один из векторов сторон равен другому (или противоположен ему), то соответствующие стороны параллельны и равны по длине.

Вычисление и доказательство.

Обозначим середины отрезков KC, KD, MA и MB как P, Q, R и S соответственно. Нам нужно доказать, что четырёхугольник PQRS (или в другом порядке обхода) является параллелограммом. Рассмотрим векторы PS и QR.

Точка P — середина KC, точка S — середина MB. Выразим вектор PS:

Более простой путь — использовать свойство средней линии треугольника или разложение по базису. Давайте выразим вектор PS через векторы, исходящие из одной точки, например, из M или K, но лучше рассмотреть связь с ребрами AB и CD.

Рассмотрим вектор PS, где P — середина KC, а S — середина MB. Воспользуемся формулой для вектора, соединяющего середины двух отрезков. Для любых точек X_1,X_2,Y_1,Y₂ вектор между серединами отрезков X₁Y₁ и X₂Y₂ можно найти. Однако здесь структура сложнее. Давайте рассмотрим вектор PR, где P — середина KC, а R — середина MA. И вектор SQ, где S — середина MB, а Q — середина KD.

Попробуем другой подход: докажем, что PS=RQ (векторы противоположных сторон равны). Выразим положение точек через радиус-векторы вершин тетраэдра A,B,C,D. Пусть начало координат произвольное. k=a+b/2 (так как K — середина AB) m=c+d/2 (так как M — середина CD)

Найдем радиус-векторы середин: P (середина KC): p=k+c/2=a+b/2+c/2=a+b+2c/4 Q (середина KD): q=k+d/2=a+b/2+d/2=a+b+2d/4 R (середина MA): r=m+a/2=c+d/2+a/2=2a+c+d/4 S (середина MB): s=m+b/2=c+d/2+b/2=2b+c+d/4

Теперь найдем вектор PS: PS=s-p=2b+c+d/4-a+b+2c/4=b-a-c+d/4 Найдем вектор RQ: RQ=q-r=a+b+2d/4-2a+c+d/4=-a+b-c+d/4 Мы видим, что PS=RQ.

Так как векторы PS и RQ равны, то отрезки PS и RQ параллельны и равны по длине. Следовательно, четырёхугольник PSQR (порядок вершин может отличаться, важно, что PS и RQ — противоположные стороны) является параллелограммом. Обычно вершины перечисляют в порядке обхода, поэтому если PS=RQ, то сторона PS параллельна стороне QR? Нет, вектор RQ направлен от R к Q. Значит, сторона QR (вектор QR=-RQ) параллельна SP (SP=-PS). Или проще: если PS=RQ, то PS≠RQ как векторы перемещения вдоль контура, если порядок P-S-Q-R. Давай проверим порядок. Если PS=RQ, то PS параллельно RQ и равно ему. Это означает, что PSQR — параллелограмм? Нет, если PS=RQ, то P→S совпадает с R→Q. Тогда PR и SQ — другие стороны. Вектор PR=r-p=2a+c+d-(a+b+2c)/4=a-b-c+d/4. Вектор SQ=q-s=a+b+2d-(2b+c+d)/4=a-b-c+d/4. Значит, PR=SQ. Таким образом, противоположные стороны PR и SQ равны и параллельны. Четырёхугольник с вершинами P,R,Q,S (в таком порядке обхода) является параллелограммом.

Проверка.

Логика верна: равенство векторов противоположных сторон (PR=SQ) является достаточным условием того, что фигура PRQS является параллелограммом. Мы использовали только свойства середины отрезка и линейные операции с векторами, что корректно для пространства. Результат не зависит от формы тетраэдра.