ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 614: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства векторных равенств в правильном октаэдре воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов. Вспомним, что сумма двух векторов с общим началом равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма), а разность векторов можно представить как сумму первого вектора и противоположного второму. Также учтём свойства правильного октаэдра: все его грани — правильные треугольники, а противоположные рёбра параллельны и равны по длине. Центр октаэдра обозначим точкой O. Вершины A и F, B и D, C и E являются противоположными относительно центра O.

Вычисление и доказательство.

а) Докажем равенство AB+FB=DB. Заметим, что векторы AB и FB имеют общее начало? Нет, у них разные начала. Перепишем левую часть, используя свойство XY=-YX. Тогда FB=-BF. Но удобнее использовать правило треугольника или параллелограмма напрямую. Рассмотрим четырёхугольник ABFD. В правильном октаэдре вершины A,B,F,D лежат в одной плоскости (это одна из «экваториальных» граней, если смотреть вдоль оси CE, но точнее — это квадратное сечение). Действительно, рёбра AB,BF,FD,DA равны между собой. Углы при вершинах этого сечения прямые? Нет, в правильном октаэдре угол между соседними рёбрами, исходящими из одной вершины, равен 60^° (так как грани — равносторонние треугольники). Однако, рассмотрим векторную сумму. Воспользуемся тем, что FB=DA? Проверим направления. Вектор AD соединяет A и D. Вектор BC соединяет B и C. Это не совсем так. Давайте используем координатный метод или геометрические свойства симметрии. Пусть центр октаэдра O. Тогда OA=-OF, OB=-OD, OC=-OE. Левая часть: AB+FB=(OB-OA)+(OB-OF)=2OB-OA-OF. Так как OF=-OA, то -OA-OF=-OA-(-OA)=0. Следовательно, AB+FB=2OB. Правая часть: DB=OB-OD. Так как OD=-OB, то DB=OB-(-OB)=2OB. Таким образом, AB+FB=2OB=DB. Равенство доказано.

б) Докажем равенство AC-CF=EC. Преобразуем левую часть. Вычитание вектора равно прибавлению противоположного: AC-CF=AC+FC. Используем выражение через центр O: AC=OC-OA FC=OC-OF Тогда AC+FC=(OC-OA)+(OC-OF)=2OC-(OA+OF). Так как A и F — противоположные вершины, OA+OF=0. Следовательно, левая часть равна 2OC. Рассмотрим правую часть: EC=OC-OE. Так как E и C — противоположные вершины, OE=-OC. Тогда EC=OC-(-OC)=2OC. Левая и правая части равны 2OC. Равенство доказано.

в) Докажем равенство AB+AC+AD+AE=2AF. Выразим каждый вектор через центр O: AB=OB-OA AC=OC-OA AD=OD-OA AE=OE-OA Сумма левой части: (OB-OA)+(OC-OA)+(OD-OA)+(OE-OA) =(OB+OC+OD+OE)-4OA. В правильном октаэдре векторы, идущие от центра к четырём экваториальным вершинам (B,C,D,E), образуют замкнутый контур (квадрат в плоскости перпендикулярной AF). Их сумма равна нулю: OB+OD=0 и OC+OE=0, значит вся сумма в скобках равна 0. Тогда левая часть равна -4OA. Рассмотрим правую часть: 2AF=2(OF-OA). Так как OF=-OA, то AF=-OA-OA=-2OA. Следовательно, 2AF=2(-2OA)=-4OA. Левая и правая части совпадают. Равенство доказано.

Проверка.

Все три пункта опираются на фундаментальное свойство правильного октаэдра: центр симметрии является серединой всех главных диагоналей (AF,BD,CE). Использование векторного представления через центр O позволило свести сложные геометрические суммы к алгебраическим действиям с противоположными векторами. Результаты согласуются с интуитивным представлением о симметрии фигуры.