ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 615: Объём шара и площадь сферы

План доказательства.

Чтобы доказать равенство двух векторов a-b и a+(-b), необходимо показать, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Для этого воспользуемся определением разности векторов через правило треугольника и свойствами противоположных векторов.

Ход решения.

1. Пусть даны два ненулевых вектора a и b. По определению, разностью векторов a и b называется такой вектор x, который в сумме с b даёт a: x+b=a Этот вектор обозначается как a-b.
2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию. Отложим от произвольной точки O вектор OA=a и вектор OB=b. Согласно правилу вычитания (треугольнику), вектор разности a-b — это вектор BA, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого.
3. Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: сумму a+(-b). Вектор -b является противоположным к b, то есть он имеет ту же длину, но обратное направление. Если мы приложим начало вектора -b к концу вектора a (правило многоугольника/треугольника для сложения), то результирующий вектор будет идти от начала a (точка O) к концу -b.
4. Более наглядно: пусть точка B′ такова, что BB′=-b. Поскольку OB=b, а BB′=-b, то точка B′ совпадает с точкой O? Нет, давайте построим иначе. Приложим -b к концу a. Пусть AC=-b. Тогда сумма a+(-b)=OC. Заметим, что OC=OA+AC=a-b.
5. Сравним векторы BA (результат вычитания по определению) и OC (результат сложения). В параллелограмме или просто используя свойства векторов: BA=BO+OA=-b+a=a+(-b). Таким образом, оба выражения задают один и тот же вектор.

Проверка.

Если перенести b в левую часть равенства a-b=a+(-b), получим (a-b)+b=a+(-b)+b. Слева по определению разности получается a. Справа (-b)+b=0, поэтому остаётся a+0=a. Равенство верно.