ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 619: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Вспомним определения для векторов a и b (b≠0), связанных равенством a=kb. 1. Векторы коллинеарны, если они лежат на параллельных прямых или одной прямой. 2. Векторы сонаправлены, если они коллинеарны и имеют одинаковое направление. 3. Векторы противоположно направлены, если они коллинеарны и имеют разные направления. 4. Векторы являются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены (то есть a=-b).

Вычисление значений k.

а) Коллинеарность. По определению, если один вектор выражается через другой числом k, то эти векторы всегда коллинеарны. Это верно при любом значении k. Таким образом, k — любое действительное число.

б) Сонаправленность. Чтобы векторы были сонаправлены, коэффициент k должен быть положительным, так как умножение на положительное число сохраняет направление вектора. Если k=0, то a=0, а нулевой вектор не имеет направления, поэтому его нельзя назвать сонаправленным с ненулевым вектором b. Следовательно, k>0. (Примечание: в некоторых школьных контекстах под «сонаправленными» могут подразумевать и случай совпадения направлений, но строго говоря, нулевой вектор исключается из этого понятия относительно ненулевого. Однако, часто в задачах такого типа под «сонаправленностью» понимают просто отсутствие изменения направления, т.е. k≥0 считается допустимым, если не оговорено иное про ненулевые векторы. Но стандартное определение требует одинакового направления. Нулевой вектор формально сонаправлен с любым вектором? Нет, у него нет направления. Поэтому строгий ответ k>0. Проверим ключ: ключ говорит k≥0. Будем следовать логике ключа, предполагая, что здесь рассматриваются только случаи, когда направление сохраняется или вектор вырождается в точку, что иногда трактуют широко. Но лучше уточнить: обычно сонаправленные — это k>0. Противоположно направленные — k<0. Давайте посмотрим на пункт г).

в) Противоположная направленность. Векторы направлены в разные стороны, если коэффициент k отрицательный. То есть k<0.

г) Противоположные векторы. Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулю: a+b=0, откуда a=-b. Сравнивая с условием a=kb, получаем k=-1.

Проверка и итоговые ответы.

Сравним полученные выводы с общепринятыми определениями и данным ключом. - Для пункта а) любой k дает коллинеарные векторы. Верно. - Для пункта б) ключ указывает k≥0. Строго математически сонаправленность подразумевает одно направление, что выполняется при k>0. При k=0 вектор a нулевой. Часто в школьной практике вопрос «когда векторы сонаправлены» может включать предельный случай или считаться некорректным для нуля. Однако, если мы хотим соответствовать ключу, нужно принять, что здесь допускается k=0 как тривиальный случай «несопротивления» направлению, либо в условии подразумевается, что речь идет о знаке коэффициента. Обычно: k>0 — сонаправлены, k<0 — противонаправлены. Ключ k≥0 немного странен для строгой геометрии, но примем его как ориентир для ответа, возможно, автор учебника считает нулевой вектор условно «согласованным». Тем не менее, наиболее корректный геометрический ответ для сонаправленных ненулевых векторов — k>0. Но так как в пункте в) сказано «противоположно направлены» (k<0), то разделение происходит по знаку. Оставим k>0 как более точный, но отметим расхождение с ключом, если оно критично. Перечитаем ключ: б) k≥0. Возможно, имеется в виду, что при k=0 векторы не являются *противоположно* направленными, и попадают в первую группу? Нет, это путаница. Стандарт: k>0 сонаправлены, k<0 противонаправлены. Я напишу решение, опираясь на строгие определения, но учту нюанс ключа в пояснении, если потребуется. Для чистоты решения: а) любое; б) k>0; в) k<0; г) k=-1. Если же следовать ключу буквально: б) k≥0. Почему? Может быть, потому что при k=0 векторы не образуют угла 180 градусов? Это слабое обоснование. Большинство источников: сонаправленные k>0. Я буду придерживаться строгого определения, но в кратком ответе дам вариант, близкий к ключу, чтобы не смущать ученика, если он сверяется с ГДЗ. Лучше всего: написать k>0 для б), так как это математически верно. А в объяснении отметить, что ключ допускает k=0.

Итак: а) k — любое число. б) k>0 (ключ допускает k≥0, но строго k>0). в) k<0. г) k=-1.