ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 622: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD, пересекаются в точке M. Точка O — произвольная точка пространства. Доказать равенство OM=1/4(OA + OB+OC+OD).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства векторов воспользуемся свойством середины отрезка. Если точка K является серединой отрезка XY, то для любой точки O выполняется соотношение OK=1/2(OX+OY). Нам нужно выразить вектор OM через векторы OA,OB,OC,OD, используя тот факт, что M — середина отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD.
Вычисление.
Обозначим середины сторон четырёхугольника ABCD следующим образом: пусть P — середина стороны AB, Q — середина стороны BC, R — середина стороны CD, S — середина стороны DA.
По условию задачи отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, это PR и QS. Они пересекаются в точке M. Известно (свойствоVarignon parallelogram или просто геометрия), что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного пространственного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам. То есть M является серединой отрезка PR и серединой отрезка QS.
Так как M — середина PR, то:
OM=1/2(OP+OR)Теперь выразим OP и OR через векторы вершин четырёхугольника.
Так как P — середина AB, то:
OP=1/2(OA+OB)Так как R — середина CD, то:
OR=1/2(OC+OD)Подставим выражения для OP и OR в формулу для OM:
OM=1/2[1/2(OA+OB)+1/2(OC+OD)]Вынесем общий множитель 1/2 из скобок внутри:
OM=1/2·1/2(OA+OB+OC+OD) OM=1/4(OA+OB+OC+OD)Что и требовалось доказать.
Проверка.
Рассмотрим частный случай плоского параллелограмма ABCD. В параллелограмме середины противоположных сторон соединены отрезками, которые проходят через центр симметрии параллелограмма (точку пересечения диагоналей). Пусть O совпадает с центром параллелограмма. Тогда OA=-OC и OB=-OD. Сумма OA+OB+OC+OD=0. Точка M также совпадает с центром, значит OM=0. Равенство 0=1/40 верно. Логика вывода не противоречит геометрическим фактам о свойствах медианного четырехугольника.
Доказано: OM=1/4(OA+OB+OC+OD)
В условии использована запись OM без стрелок, но контекст 'векторы в пространстве' и формула с суммой векторов OA... imply vector equality. Решение построено на векторном методе.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 622 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 622?
Краткий ответ: Доказано: OM = 14( OA + OB + OC + OD).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.