ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 626: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Чтобы доказать, что три прямые параллельны некоторой плоскости, достаточно показать, что векторы направлений этих прямых компланарны. Если векторы A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ лежат в одной плоскости (или параллельны ей), то соответствующие им прямые также параллельны этой плоскости.

Вычисление и доказательство.

Введём обозначения для векторов на скрещивающихся прямых. Пусть a=A₁A₂ и b=B₁B₂. Так как точки A_1,A_2,A₃ лежат на одной прямой, а B_1,B_2,B₃ — на другой, то векторы A₁A₃ и B₁B₃ коллинеарны векторам a и b соответственно.

По условию задачи дано: A₁A₂=k·A₁A₃ и B₁B₂=k·B₁B₃. Это означает, что векторные соотношения можно записать как:

Рассмотрим векторы, соединяющие соответствующие точки:

• A₁B₁ — вектор первой прямой;
• A₂B₂=A₂A₁+A₁B₁+B₁B₂=-a+A₁B₁+b;
• A₃B₃=A₃A₁+A₁B₁+B₁B₃=-1/ka+A₁B₁+1/kb.

Нам нужно проверить, являются ли векторы A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ компланарными. Для этого выразим один из них через два других или покажем линейную зависимость.

Заметим, что разность векторов A₂B₂ и A₁B₁ равна b-a. Разность векторов A₃B₃ и A₁B₁ равна 1/k(b-a).

Обозначим u=A₁B₁, v=b-a. Тогда:

Все три вектора (u, u+v, u+1/kv) выражаются через два базисных вектора u и v. Следовательно, они лежат в одной плоскости, натянутой на векторы u и v.

Проверка и вывод.

Так как векторы направлений прямых A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ компланарны, то существует плоскость, параллельная всем этим векторам. Прямые, параллельные векторам, лежащим в данной плоскости, сами параллельны этой плоскости (при условии, что они не лежат в ней). Поскольку исходные прямые скрещиваются, точки A_i и B_j не образуют одну плоскость с центром проекции таким образом, чтобы все три линии легли в неё одновременно, поэтому утверждение о параллельности некоторой плоскости верно.