ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 629: Объём шара и площадь сферы

План решения.

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагоналями являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: AC₁, CA₁, BD₁ и DB₁. Нам даны базисные векторы: p=AB, q=AD, r=AA₁. Чтобы разложить векторы диагоналей по этому базису, воспользуемся правилом многоугольника (правилом «цепочки») для сложения векторов. Нужно представить каждый вектор диагонали как сумму последовательных векторов рёбер параллелепипеда, идущих от начала к концу диагонали, а затем заменить эти векторы рёбер на данные p,q,r с учётом направления.

Вычисление.

1. Диагональ AC₁:

   Пройдём путь от точки A к точке C₁: сначала по ребру AB, затем по ребру BC (которое равно и параллельно AD), затем по ребру CC₁ (которое равно и параллельно AA₁).

   AC₁=AB+BC+CC₁ Так как BC=AD=q и CC₁=AA₁=r, то: AC₁=p+q+r
2. Диагональ CA₁:

   Пройдём путь от точки C к точке A₁. Можно пойти через точку B или D. Выберем путь C→B→A→A₁.

   CA₁=CB+BA+AA₁ Заметим, что CB=-BC=-AD=-q, а BA=-AB=-p. Вектор AA₁=r.
   CA₁=-q-p+r=-p-q+r
3. Диагональ BD₁:

   Пройдём путь от точки B к точке D₁. Путь: B→A→D→D₁.

   BD₁=BA+AD+DD₁ Здесь BA=-p, AD=q, а DD₁=AA₁=r.
   BD₁=-p+q+r=q-p+r
4. Диагональ DB₁:

   Пройдём путь от точки D к точке B₁. Путь: D→A→B→B₁.

   DB₁=DA+AB+BB₁ Здесь DA=-AD=-q, AB=p, а BB₁=AA₁=r.
   DB₁=-q+p+r=p-q+r

Проверка.

Сумма всех четырёх векторов диагоналей в замкнутой системе координат должна давать ноль, если рассматривать их как направленные отрезки между центром симметрии и вершинами, но здесь мы проверяем согласованность знаков. Например, сумма AC₁+CA₁=(p+q+r)+(-p-q+r)=2r. Это верно, так как геометрически AC₁+CA₁=AA₁+A₁C₁+CA+AA₁... проще проверить через координаты. Пусть A(0,0,0), тогда B(1,0,0)⇒p=(1,0,0), D(0,1,0)⇒q=(0,1,0), A₁(0,0,1)⇒r=(0,0,1). Тогда C(1,1,0), C₁(1,1,1), B₁(1,0,1), D₁(0,1,1). AC₁=(1,1,1)=p+q+r — верно. CA₁=A₁-C=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-p-q+r — верно. BD₁=D₁-B=(0,1,1)-(1,0,0)=(-1,1,1)=-p+q+r — верно. DB₁=B₁-D=(1,0,1)-(0,1,0)=(1,-1,1)=p-q+r — верно.