ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 632: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства того, что три прямые параллельны некоторой плоскости, достаточно показать, что направляющие векторы этих прямых компланарны. Векторы AA₁, BB₁ и CC₁ будут лежать в одной плоскости (или быть коллинеарными), если один из них можно выразить через линейную комбинацию двух других. Воспользуемся свойством медианного центра: для любого треугольника сумма векторов от вершин к центру тяжести равна нулю.

Вычисление и доказательство.

Пусть O — общая точка пересечения медиан треугольников ABC и A₁B₁C₁. По определению центра тяжести треугольника, сумма векторов, направленных от вершин к этому центру, равна нулевому вектору:

Выразим векторы AA₁, BB₁ и CC₁ через векторы с началом в точке O. Используем правило разности векторов (XY=OY-OX):

Сложим эти три равенства:

Сгруппируем слагаемые:

Подставим значения сумм, полученные из свойства медианного центра:

Таким образом, мы получили соотношение:

Это означает, что вектор CC₁ выражается как линейная комбинация векторов AA₁ и BB₁: CC₁=-AA₁-BB₁. Следовательно, векторы AA₁, BB₁ и CC₁ компланарны.

Проверка и вывод.

Если направляющие векторы трёх прямых компланарны, то сами прямые либо параллельны одной плоскости, либо лежат в ней. Поскольку по условию задачи речь идёт о произвольных треугольниках, которые могут не лежать в одной плоскости с центром O, наиболее общий случай — это параллельность некоторой плоскости. Даже если прямые пересекаются или лежат в одной плоскости, они всё равно считаются параллельными этой же плоскости (так как угол между прямой и плоскостью равен 0). Таким образом, утверждение доказано: прямые AA₁, BB₁ и CC₁ параллельны некоторой плоскости.