ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 635: Объём шара и площадь сферы

План решения. Для доказательства коллинеарности точек пересечения медиан удобно использовать векторный метод. Обозначим центры тяжести (точки пересечения медиан) треугольников ABC, A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ как G, G₁ и G₂ соответственно. Нам нужно выразить векторы GG₁ и GG₂ через известные данные и показать, что они пропорциональны (или лежат на одной прямой с общей точкой). Вспомним формулу для радиус-вектора центра тяжести треугольника: если вершины имеют радиус-векторы a,b,c относительно произвольного начала координат, то радиус-вектор центра тяжести равен a+b+c/3.

Вычисление. Выберем произвольную точку O за начало отсчёта. Пусть a,b,c — радиус-векторы точек A,B,C. Тогда радиус-вектор точки G: g=a+b+c/3 По условию задачи A — середина A₁A₂, значит a=a₁+a₂/2, откуда a₁+a₂=2a. Аналогично для других вершин: b₁+b₂=2b и c₁+c₂=2c. Радиус-вектор точки G₁ (центр тяжести △A₁B₁C₁): g₁=a₁+b₁+c₁/3 Радиус-вектор точки G₂ (центр тяжести △A₂B₂C₂): g₂=a₂+b₂+c₂/3 Рассмотрим сумму радиус-векторов g₁ и g₂: g₁+g₂=a₁+b₁+c₁+a₂+b₂+c₂/3=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)+(c₁+c₂)/3 Подставим выражения через середины: g₁+g₂=2a+2b+2c/3=2·(a+b+c/3)=2g Таким образом, мы получили векторное равенство: g₁+g₂=2g Перепишем его в виде: g-g₁=g₂-g Это означает, что вектор G₁G равен вектору GG₂. Следовательно, точки G_1,G,G₂ лежат на одной прямой, причём точка G является серединой отрезка G₁G₂.

Проверка и вывод. Мы доказали, что векторы G₁G и GG₂ равны. Поскольку у этих векторов есть общая начальная/конечная точка (G), а их направления совпадают (так как векторы равны), то все три точки G_1,G,G₂ коллинеарны. Указание на задачу 603 обычно относится к свойствам центроидов или векторным соотношениям между центрами тяжести связанных треугольников, что полностью согласуется с полученным результатом g=g₁+g₂/2. Ответ: Точки пересечения медиан треугольников ABC, A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ лежат на одной прямой.