ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 633: Объём шара и площадь сферы

Для решения задачи воспользуемся правилами векторной алгебры в пространстве. Нам даны три базисных вектора, исходящих из вершины A: b=AB, c=AC и d=AD. Также известно, что точка M является серединой ребра BC. Наша цель — выразить через эти векторы четыре других вектора: BC, CD, DB и DM.

Рассмотрим каждый вектор по отдельности, применяя правило треугольника или параллелограмма для сложения и вычитания векторов.

1. Вектор BC . По правилу вычитания векторов, BC=AC-AB. Подставляя данные обозначения, получаем:
   BC=c-b
2. Вектор CD . Аналогично, CD=AD-AC. Подставляем известные векторы:
   CD=d-c
3. Вектор DB . Здесь DB=AB-AD. Получаем выражение:
   DB=b-d
4. Вектор DM . Этот вектор можно представить как сумму DA+AM.
   Во-первых, DA=-AD=-d.
   Во-вторых, так как M — середина отрезка BC, то вектор AM равен полусумме векторов AB и AC (это следует из того, что AM=1/2(AB+AC)). То есть AM=1/2b+1/2c.
   Складываем части:
   DM=DA+AM=-d+1/2b+1/2c
   Перепишем в стандартном порядке:
   DM=1/2b+1/2c-d

Проверим полученные результаты на логическую согласованность. Сумма векторов BC+CD+DB должна давать нулевой вектор, так как это замкнутый контур B→C→D→B.
(c-b)+(d-c)+(b-d)=c-b+d-c+b-d=0.
Все слагаемые сокращаются, проверка пройдена успешно. Выражения для всех четырех векторов найдены верно.