ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 630: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K — середина ребра CC_1. Разложите вектор
а) AK по векторам AB, AD, AA_1
б) DA_1 по векторам AB_1, BC_1 и CD_1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для выполнения задания воспользуемся правилами сложения векторов и свойством параллелепипеда. В пункте а) представим вектор AK как сумму последовательных векторов, идущих от точки A к точке K, используя правило треугольника или многоугольника. В пункте б) выразим вектор DA1 через заданные базисные векторы AB1, BC1 и CD1, предварительно разложив эти базисные векторы по ребрам параллелепипеда (a=AB, b=AD, c=AA1), чтобы найти коэффициенты линейной комбинации.
Вычисление:
а) Разложим вектор AK.
По правилу многоугольника для векторов: AK=AC+CK
Так как ABCD — параллелограмм (основание параллелепипеда), то диагональ основания выражается как сумма смежных сторон: AC=AB+AD
Точка K является серединой ребра CC1. Вектор CC1 равен вектору AA1 (противоположные ребра параллелепипеда равны и сонаправлены). Следовательно, вектор CK составляет половину вектора CC1: CK=1/2CC1=1/2AA1
Подставим полученные выражения в исходную формулу: AK=(AB+AD)+1/2AA1=AB+AD+1/2AA1
б) Разложим вектор DA1 по векторам AB1, BC1 и CD1.
Обозначим основные векторы параллелепипеда: a=AB, b=AD, c=AA1.
Выразим целевой вектор DA1 через a,b,c:
DA1=DA+AA1=-AD+AA1=-b+c
Теперь выразим данные векторы разложения через a,b,c:
- AB1=AB+BB1=a+c
- BC1=BC+CC1=AD+AA1=b+c (так как BC=AD)
- CD1=CD+DD1=-AB+AA1=-a+c (так как CD=-AB)
Нам нужно представить вектор -b+c в виде линейной комбинации: xAB1+yBC1+zCD1=-b+c
Подставим выражения через a,b,c:
x(a+c)+y(b+c)+z(-a+c)=-b+c
Сгруппируем слагаемые при a,b,c:
(x-z)a+yb+(x+y+z)c=0·a-1·b+1·c
Приравняем коэффициенты при линейно независимых векторах a,b,c:
- x-z=0⇒x=z
- y=-1
- x+y+z=1
Подставим y=-1 и z=x в третье уравнение:
x+(-1)+x=1⇒2x=2⇒x=1
Тогда z=1.
Итак, коэффициенты: x=1,y=-1,z=1.
Следовательно: DA1=1·AB1-1·BC1+1·CD1=AB1-BC1+CD1
Проверка:
Проверим пункт б) геометрически. Вычислим правую часть AB1-BC1+CD1:
AB1-BC1+CD1=(a+c)-(b+c)+(-a+c)=a+c-b-c-a+c=-b+c
Мы получили -AD+AA1, что действительно равно вектору DA1. Решение верно.
а) AK=AB+AD+1/2AA1
б) DA1=AB1-BC1+CD1
В пункте а) используется стандартное разложение по диагонали основания и половине вертикального ребра. В пункте б) ключевой момент — переход к базису из ребер параллелепипеда (a,b,c) и решение системы линейных уравнений относительно коэффициентов разложения. Важно правильно определить направления векторов BC и CD относительно AD и AB.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 630 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 630?
Краткий ответ: а) AK = AB + AD + 12 AA_1; б) DA_1 = AB_1 - BC_1 + CD_1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.