ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 628: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В тетраэдре ABCD точка K — середина медианы BB1 грани BCD. Разложить вектор AK по векторам a=AB, b=AC, c=AD.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы разложить вектор AK по базисным векторам a=AB, b=AC и c=AD, воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника) для сложения векторов. Представим вектор AK как сумму вектора AB и вектора BK: AK=AB+BK Далее нужно выразить вектор BK через заданные векторы. По условию точка K является серединой медианы BB1 грани BCD. Это означает, что BK=1/2BB1. Осталось найти выражение для вектора медианы BB1.
Вычисление.
Рассмотрим грань BCD. Точка B1 — середина ребра CD, так как BB1 — медиана треугольника BCD. Выразим вектор BB1 через векторы, исходящие из точки B. Используем правило вычитания или цепочку переходов:
- Вектор BC=AC-AB=b-a.
- Вектор BD=AD-AB=c-a.
Так как B1 — середина отрезка CD, то по свойству медианы в треугольнике (или формуле координат середины отрезка):
BB1=1/2(BC+BD)Подставим найденные выражения:
BB1=1/2((b-a)+(c-a))=1/2(b+c-2a)=1/2b+1/2c-aТеперь вернемся к вектору BK. Поскольку K — середина BB1:
BK=1/2BB1=1/2(1/2b+1/2c-a)=1/4b+1/4c-1/2aНаконец, подставим BK в исходное равенство для AK:
AK=AB+BK=a+(1/4b+1/4c-1/2a)Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:
AK=(1-1/2)a+1/4b+1/4c=1/2a+1/4b+1/4cПроверка.
Проверим результат геометрически. Вектор AK можно также представить как AB1+B1K. AB1=1/2(AC+AD)=1/2b+1/2c. B1K=1/2B1B=-1/2BB1=-(1/4b+1/4c-1/2a)=1/2a-1/4b-1/4c. Суммируя: (1/2b+1/2c)+(1/2a-1/4b-1/4c)=1/2a+1/4b+1/4c. Результат совпадает.
AK=1/{2}a+1/{4}b+1/{4}\vec{c}
Задача на применение правил сложения и вычитания векторов в пространстве, а также свойств медиан треугольника. Ключевой момент — правильная запись вектора медианы через стороны треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 628 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 628?
Краткий ответ: AK = 12 a + 14 b + 14 c.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.