ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 624: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Три точки M, N и P лежат на одной прямой, а точка O не лежит на этой прямой. Выразить вектор OP через векторы OM и ON, если
а) NP=2MN
б) MP=-1/2 PN
в) MP=kMN, где k — данное число.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для выражения вектора OP через OM и ON воспользуемся правилом вычитания векторов: MP=OP-OM и NP=OP-ON. Также учтём, что точки M,N,P лежат на одной прямой, поэтому векторы MN и PN можно выразить через разности радиус-векторов точек относительно начала O: MN=ON-OM и PN=ON-OP (или аналогично для других пар). Подставим данные соотношения между векторами в равенства и выразим OP.
Вычисление по пунктам.
а) Дано: NP=2MN. Запишем векторы через OM,ON,OP: NP=OP-ON MN=ON-OM Подставляем в условие: OP-ON=2(ON-OM) Раскрываем скобки и переносим слагаемые: OP-ON=2ON-2OM OP=3ON-2OM
б) Дано: MP=-1/2PN. Заметим, что PN=-NP=-(OP-ON)=ON-OP. Также MP=OP-OM. Подставляем в условие: OP-OM=-1/2(ON-OP) Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: 2(OP-OM)=-(ON-OP) 2OP-2OM=-ON+OP Переносим OP в левую часть, остальные члены — в правую: 2OP-OP=2OM-ON OP=2OM-ON
в) Дано: MP=kMN. Используем те же разложения: MP=OP-OM MN=ON-OM Подставляем в условие: OP-OM=k(ON-OM) Раскрываем скобки: OP-OM=kON-kOM Переносим OM в правую часть: OP=kON-kOM+OM Группируем слагаемые при OM: OP=kON+(1-k)OM
Проверка.
В пункте а) если OP=3ON-2OM, то NP=3ON-2OM-ON=2ON-2OM=2(ON-OM)=2MN. Верно. В пункте б) если OP=2OM-ON, то MP=2OM-ON-OM=OM-ON=-MN. А PN=ON-OP=ON-(2OM-ON)=2ON-2OM=2MN. Тогда -1/2PN=-1/2(2MN)=-MN. Совпадает с MP. Верно. В пункте в) результат является общим случаем. При k=0 получаем OP=OM (точка P совпадает с M), при k=1 получаем OP=ON (P совпадает с N). Формула работает корректно.
а) 3ON-2OM
б) 2OM-ON
в) kON+(1-k)OM
Решение основано на свойствах коллинеарных векторов и правиле треугольника (вычитания векторов). Ключевым моментом является правильная запись векторов MN, NP, MP через радиус-векторы точек M,N,P относительно произвольного начала O. В пункте б важно не ошибиться со знаками при переходе от PN к NP или непосредственной подстановке.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 624 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 624?
Краткий ответ: а) 3 ON - 2 OM; б) 2 OM - ON; в) k ON + (1-k) OM.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.