ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 623: Объём шара и площадь сферы

План решения.

В условии задачи требуется доказать строгое неравенство MO<1/4(MA+MB+MC+MD). Однако ключ к задаче содержит указание доказать равенство MO=1/4|MA+MB+MC+MD| (в векторной форме). Давайте разберемся с геометрическим смыслом. Для параллелограмма сумма векторов из произвольной точки M в вершины равна 4MO, где O — центр симметрии (точка пересечения диагоналей). Это означает, что длина вектора MO связана с суммой длин векторов MA,MB,MC,MD через неравенство треугольника для нескольких векторов. Строгое неравенство выполняется, если векторы не сонаправлены. Если точка M совпадает с точкой O, то левая часть равна 0, а правая положительна (если A,B,C,D не совпадают с O), и неравенство верно. Если M удалена от плоскости или находится в ней, но не является центром, векторы направлены в разные стороны, и их скалярная сумма длин строго больше длины суммы векторов.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим векторы, исходящие из точки M в вершины параллелограмма: MA,MB,MC,MD. Так как ABCD — параллелограмм, а O — точка пересечения его диагоналей, то O является серединой отрезков AC и BD. Следовательно, справедливо векторное равенство: OA+OC=0 OB+OD=0 Выразим векторы MA,MB,MC,MD через вектор MO и векторы из центра O: MA=MO+OA MB=MO+OB MC=MO+OC MD=MO+OD Сложим эти четыре равенства: MA+MB+MC+MD=4MO+(OA+OC)+(OB+OD) Учитывая свойства центра параллелограмма (OA+OC=0 и OB+OD=0), получаем: MA+MB+MC+MD=4MO Отсюда следует векторное равенство: MO=1/4(MA+MB+MC+MD) Теперь возьмем модули (длины) обеих частей: MO=|1/4(MA+MB+MC+MD)|=1/4|MA+MB+MC+MD| По обобщенному неравенству треугольника для векторов модуль суммы векторов не превышает сумму модулей этих векторов: |a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d| Применим это к нашим векторам: |MA+MB+MC+MD|≤MA+MB+MC+MD Подставив это в выражение для MO, получаем: MO≤1/4(MA+MB+MC+MD) Неравенство превращается в равенство только тогда, когда все векторы MA,MB,MC,MD сонаправлены. В случае параллелограмма это возможно только если точка M лежит на прямой, проходящей через вершины так, что они «выстроены» в одну сторону относительно M, что невозможно для замкнутой фигуры ABCD, если M не бесконечно удалена, или если фигура вырождена. Однако даже в вырожденных случаях или при M=O (где левая часть 0, а правая > 0) неравенство строгое. Единственный случай равенства был бы, если бы все векторы были нулевыми (все точки совпали), что противоречит определению параллелограмма. Таким образом, для любой реальной точки M пространства и невырожденного параллелограмма выполняется строгое неравенство:

Проверка.

Рассмотрим частный случай: пусть M совпадает с центром O. Тогда MO=0. Правая часть равна 1/4(OA+OB+OC+OD). Так как A,B,C,D — различные точки, расстояния от центра до вершин положительны, значит правая часть >0. Неравенство 0<положительное число верно. Рассмотрим другой случай: пусть параллелограмм вырождается в отрезок, а M находится далеко за пределами. Векторы почти сонаправлены, но из-за того, что A и C лежат по разные стороны от O (или B и D), векторы MA и MC не могут быть строго сонаправленными одновременно с MB и MD в одной точке M конечного положения для выпуклой фигуры. Сумма длин всегда будет превышать длину векторной суммы, деленную на 4, умноженную на 4... точнее, 4MO<∑MA_i. Логика подтверждает правильность вывода.