ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 621: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC соответственно. O — произвольная точка пространства. Доказать равенство OA1+OB1+OC1=OA+OB+OC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства векторов удобно использовать метод разложения по базису или выражение искомых векторов через радиус-векторы точек относительно произвольного начала O. Вспомним формулу для координат середины отрезка в векторной форме: если точка M является серединой отрезка PQ, то для любой точки O выполняется равенство OM=1/2(OP+OQ). Применим это свойство к точкам A1, B1 и C1.
Вычисление.
По условию задачи:
- A1 — середина стороны BC. Следовательно, OA1=1/2(OB+OC).
- B1 — середина стороны AC. Следовательно, OB1=1/2(OA+OC).
- C1 — середина стороны AB. Следовательно, OC1=1/2(OA+OB).
Нам нужно найти сумму левых частей этих равенств: OA1+OB1+OC1.
Подставим выражения через векторы OA, OB и OC:
OA1+OB1+OC1=1/2(OB+OC)+1/2(OA+OC)+1/2(OA+OB)Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:
=1/2OB+1/2OC+1/2OA+1/2OC+1/2OA+1/2OB =(1/2OA+1/2OA)+(1/2OB+1/2OB)+(1/2OC+1/2OC) =OA+OB+OCТаким образом, мы получили, что сумма векторов из точки O в середины сторон равна сумме векторов из точки O в вершины треугольника.
Проверка и вывод.
Логика рассуждений опирается на фундаментальное свойство векторов: вектор, идущий в середину отрезка, равен полусумме векторов, идущих в концы этого отрезка. Поскольку точка O выбрана произвольно, результат не зависит от её положения. Мы последовательно выразили каждый вектор левой части равенства, сложили их и алгебраически упростили выражение до правой части. Равенство доказано.
Доказательство приведено в решении.
Использована векторная формула середины отрезка. Решение универсально для любого расположения точки O.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 621 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 621?
Краткий ответ: Доказательство приведено в решении.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.