ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 620: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства утверждений будем использовать метод от противного и свойства коллинеарности векторов. Векторы x и y коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число β, такое что x=βy (при условии, что хотя бы один из векторов не нулевой, или оба нулевые). Также воспользуемся тем, что если два вектора линейно независимы (не коллинеарны), то их линейная комбинация равна нулю только при нулевых коэффициентах.

а) Доказательство того, что векторы a и b не коллинеарны.

Предположим обратное: пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда существует число m такое, что a=mb (или b=na, случай симметричен).

Подставим это выражение в данные нам векторы:

Таким образом, оба вектора a+kb и a+lb являются кратными одного и того же вектора b. Это означает, что они коллинеарны между собой (если b≠0). Если же b=0, то a=0, и оба вектора нулевые, а значит, также считаются коллинеарными.

Однако по условию задачи сказано, что векторы a+kb и a+lb не коллинеарны. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно. Следовательно, векторы a и b не коллинеарны.

б) Доказательство того, что векторы a+k₁b и a+l₁b не коллинеарны при любых неравных числах k₁ и l₁.

Из пункта а) мы уже знаем, что векторы a и b не коллинеарны. Предположим, что для некоторых неравных чисел k₁ и l₁ (k₁≠l₁) векторы u=a+k₁b и v=a+l₁b коллинеарны.

Тогда существует число β такое, что u=βv:

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Так как векторы a и b не коллинеарны (линейно независимы), то равенство нулю их линейной комбинации возможно только в том случае, если оба коэффициента равны нулю:

Подставим найденное значение β=1 во второе уравнение:

Но по условию этого пункта числа k₁ и l₁ неравны . Мы получили противоречие (k₁=l₁ при k₁≠l₁).

Следовательно, предположение о коллинеарности векторов a+k₁b и a+l₁b неверно. Значит, эти векторы не коллинеарны при любых неравных k₁ и l₁.

Проверка.

Логика рассуждений опирается на фундаментальное свойство линейной независимости двух некомпланарных (в плоскости — неколлинеарных) векторов. Если бы a и b были коллинеарны, любая их линейная комбинация лежала бы на одной прямой, что противоречило бы условию а). Для пункта б) мы показали, что коллинеарность новых векторов влечет за собой равенство коэффициентов, что запрещено условием. Решение корректно.