ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 618: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Нам даны векторные равенства, связывающие точки A,B,C с точками A_1,B_1,C₁ через векторы OA,OB,OC и общий вектор OP. Чтобы доказать, что стороны треугольников равны и параллельны, нужно выразить векторы сторон A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ через векторы сторон AB, BC и CA. Если мы покажем, что A₁B₁=AB (и аналогично для других сторон), то из определения равенства векторов следует, что соответствующие отрезки равны по длине и параллельны.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим вектор A₁B₁. По правилу разности векторов, A₁B₁=OB₁-OA₁.

Подставим в это выражение данные условия:

• OA₁=OA+OP
• OB₁=OB+OP

Тогда:

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Заметим, что OB-OA=AB. Следовательно, мы получили равенство:

Аналогично доказывается для остальных сторон:

1. Для вектора B₁C₁: B₁C₁=OC₁-OB₁=(OC+OP)-(OB+OP)=OC-OB=BC
2. Для вектора C₁A₁: C₁A₁=OA₁-OC₁=(OA+OP)-(OC+OP)=OA-OC=CA

Проверка и вывод.

Мы установили, что A₁B₁=AB, B₁C₁=BC и C₁A₁=CA.

По определению равных векторов, два вектора равны тогда и только тогда, когда они коллинеарны (параллельны) и имеют одинаковую длину.

Таким образом:

• Отрезок A₁B₁ параллелен отрезку AB и равен ему по длине (A₁B₁=AB).
• Отрезок B₁C₁ параллелен отрезку BC и равен ему по длине (B₁C₁=BC).
• Отрезок C₁A₁ параллелен отрезку CA и равен ему по длине (C₁A₁=CA).

Что и требовалось доказать.