ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 625: Объём шара и площадь сферы

План решения:

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Нам нужно доказать это свойство для векторов p, a и b в двух случаях: когда один из них нулевой, и когда два из них коллинеарны.

Вычисление и доказательства:

а) Один из данных векторов нулевой.

Пусть без ограничения общности p=0. Нулевой вектор имеет длину 0 и не имеет определённого направления (или считается направленным произвольно). По определению, нулевой вектор лежит в любой плоскости. Следовательно, мы можем выбрать любую плоскость, содержащую векторы a и b (если они ненулевые, то две прямые всегда задают плоскость или параллельны ей). В эту же плоскость можно поместить начало и конец нулевого вектора p. Таким образом, все три вектора p,a,b лежат в одной плоскости, значит, они компланарны.

б) Два из данных векторов коллинеарны.

Пусть, например, a∥b. Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых (или на одной прямой). Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Пусть эта плоскость будет α. Тогда векторы a и b лежат в плоскости α (или могут быть перенесены в неё параллельным переносом, так как вектор свободный). Третий вектор p может лежать где угодно в пространстве. Однако, чтобы проверить компланарность трёх векторов, достаточно рассмотреть их как направленные отрезки с общим началом. Если мы приложим все три вектора к одной точке O, то концы векторов a и b будут лежать на одной прямой (так как они коллинеарны), проходящей через O. Прямая и точка (конец вектора p) всегда определяют плоскость. Следовательно, существует плоскость, содержащая все три вектора. Значит, p,a,b компланарны.

Проверка:

Рассмотрим геометрическую интерпретацию. В случае а) наличие нулевого вектора «разрушает» требование линейной независимости, делая систему зависимой тривиально. В случае б) если два вектора коллинеарны, то третий вектор вместе с ними образует вырожденный параллелепипед объёмом 0, что является признаком компланарности. Оба случая подтверждают утверждение задачи.