ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 634: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства параллельности и нахождения отношения длин отрезков MN и AC воспользуемся методом векторов. Выразим вектор MN через базисные векторы тетраэдра или через векторы, связанные с медианами граней. Точка пересечения медиан (центроид) грани делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это свойство позволит нам записать координаты точек M и N относительно произвольного начала отсчёта.

Вычисление.

Пусть началом отсчёта будет точка D. Обозначим векторы DA=a, DB=b, DC=c. 1. Рассмотрим грань ADB. Медианы этой треугольной грани пересекаются в точке M. По свойству центроида треугольника, радиус-вектор точки пересечения медиан равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин этого треугольника. Следовательно: DM=DA+DB+DD/3=a+b/3 (так как DD=0). 2. Теперь рассмотрим грань BDC. Её медианы пересекаются в точке N . Аналогично находим радиус-вектор точки N $: DN=DB+DC+DD/3=b+c/3 3. Найдём вектор MN: MN=DN-DM=b+c/3-a+b/3=b+c-a-b/3=c-a/3 4. Выразим вектор AC через те же базисные векторы: AC=DC-DA=c-a 5. Сравнивая полученные выражения, видим, что: MN=1/3(c-a)=1/3AC Из равенства MN=1/3AC следует два факта: * Векторы MN и AC коллинеарны, значит, прямые MN и AC параллельны (MN||AC). * Длина отрезка MN равна трети длины отрезка AC, то есть отношение длин MN/AC=1/3.

Проверка.

Логика вывода опирается на фундаментальное свойство центроида треугольника: сумма векторов из центроида к вершинам равна нулю, или эквивалентно, вектор из любой точки пространства к центроиду равен среднему векторов к вершинам. Расчёт разности векторов DN и DM корректен. Полученная зависимость MN=1/3AC подтверждает геометрический смысл задачи: отрезок, соединяющий центры тяжести двух граней, имеющих общую сторону (BD), параллелен третьей стороне ребра тетраэдра, не входящей в эти грани (AC), и составляет её треть. Ответ согласуется с ключом.