ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 636: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Рассмотрим тетраэдр ABCD с основанием ABC. Обозначим точки пересечения медиан боковых граней ABD, BCD и ACD как M1, M2 и M3 соответственно. Нам нужно доказать, что треугольник M1M2M3 подобен треугольнику ABC. Для этого воспользуемся векторным методом: выразим векторы сторон треугольника M1M2M3 через векторы сторон основания ABC и покажем их пропорциональность.
Вычисление.
Вспомним свойство центра тяжести (точки пересечения медиан) треугольника. Если G — точка пересечения медиан треугольника XYZ, то для любой точки O выполняется равенство OG=1/3(OX+OY+OZ). Применим это к боковым граням тетраэдра, выбрав вершину D за начало отсчета (или просто используя свойства векторов).
Пусть M1 — центроид грани ABD. Тогда:
DM1=1/3(DA+DB+DD)=1/3(DA+DB)Аналогично для M2 (центроид грани BCD):
DM2=1/3(DB+DC)И для M3 (центроид грани ACD):
DM3=1/3(DA+DC)Теперь найдем векторы сторон треугольника M1M2M3. Вычислим вектор M1M2:
M1M2=DM2-DM1=1/3(DB+DC)-1/3(DA+DB)=1/3(DC-DA)Заметим, что DC-DA=AC. Следовательно:
M1M2=1/3ACЭто означает, что сторона M1M2 параллельна стороне AC основания и равна ей в одну треть.
Аналогично найдем вектор M2M3:
M2M3=DM3-DM2=1/3(DA+DC)-1/3(DB+DC)=1/3(DA-DB)=1/3BAСледовательно, M2M3∥BA и M2M3=1/3BA.
Найдем вектор M3M1:
M3M1=DM1-DM3=1/3(DA+DB)-1/3(DA+DC)=1/3(DB-DC)=1/3CBСледовательно, M3M1∥CB и M3M1=1/3CB.
Проверка и вывод.
Мы получили, что стороны треугольника M1M2M3 соответственно параллельны сторонам треугольника ABC и относятся к ним в одном и том же отношении k=1/3:
- M1M2=1/3AC;
- M2M3=1/3AB;
- M3M1=1/3BC.
По первому признаку подобия треугольников (пропорциональность всех трех соответствующих сторон), треугольник M1M2M3 подобен треугольнику ABC. Углы между соответствующими сторонами также равны, так как стороны параллельны. Что и требовалось доказать.
Доказано: стороны треугольника из центроидов боковых граней параллельны сторонам основания и составляют 1/3 от них, следовательно, треугольники подобны.
Задача решается векторным методом. Ключевое наблюдение: вектор, соединяющий центроиды двух граней, имеющих общее ребро, параллелен третьей стороне основания и равен её трети. Это следует из формулы координат центроида.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 636 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 636?
Краткий ответ: Доказано: стороны треугольника из центроидов боковых граней параллельны сторонам основания и составляют 13 от них, следовательно, треугольники подобны.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.