ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 639: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA1B1C1D1:A(0; 0; 0), B(0; 0; 1), D(0; 1; 0) и A_1(1; 0; 0). Найти координаты остальных вершин куба.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны и равны по длине. Нам даны координаты вершин A(0;0;0), B(0;0;1), D(0;1;0) и A1(1;0;0). Можно заметить, что векторы AB, AD и AA1 соответствуют единичным отрезкам вдоль осей Oz, Oy и Ox соответственно. Это означает, что стороны куба параллельны осям координат, а длина ребра равна 1. Чтобы найти остальные вершины, нужно сложить соответствующие векторы или использовать свойство параллелограмма (в данном случае квадрата) в гранях куба.
Вычисление координат.
- Вершина C: Лежит в плоскости основания ABCD. Так как ABCD — квадрат со сторонами, параллельными осям, то AC=AB+AD. Координаты: C=B+D-A=(0+0-0;0+1-0;1+0-0)=(0;1;1).
- Вершина B1: Лежит над вершиной B на расстоянии ребра. Вектор BB1 равен вектору AA1=(1;0;0). Тогда B1=B+(1;0;0)=(0+1;0+0;1+0)=(1;0;1).
- Вершина D1: Лежит над вершиной D на расстоянии ребра. Вектор DD1 равен вектору AA1=(1;0;0). Тогда D1=D+(1;0;0)=(0+1;1+0;0+0)=(1;1;0).
- Вершина C1: Лежит над вершиной C на расстоянии ребра. Вектор CC1 равен вектору AA1=(1;0;0). Тогда C1=C+(1;0;0)=(0+1;1+0;1+0)=(1;1;1). Также можно проверить через диагональ: C1=A1+AB+AD=(1;0;0)+(0;0;1)+(0;1;0)=(1;1;1).
Проверка.
Убедимся, что все найденные точки образуют правильный куб с ребром 1. Расстояния между соседними вершинами должны быть равны 1. Например, расстояние B1C1: (1-1)2+(1-0)2+(1-1)2=0+1+0=1. Расстояние C1D1: (1-1)2+(1-1)2+(1-0)2=1. Все условия выполнены. Полученные координаты совпадают с ожидаемым результатом для куба, ориентированного по осям координат.
B_1(1; 0; 1), C(0; 1; 1), C_1(1; 1; 1), D_1(1; 1; 0)
Задача решается через векторное сложение или свойства параллельного переноса в прямоугольной системе координат. Поскольку заданные векторы из вершины A являются ортами осей, координаты остальных вершин находятся простым суммированием соответствующих компонент.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 639 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 639?
Краткий ответ: B_1(1; 0; 1), C(0; 1; 1), C_1(1; 1; 1), D_1(1; 1; 0).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.