ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 643: Метод координат в пространстве. Движения
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства. Для того чтобы доказать утверждение для произвольных векторов в пространстве, необходимо ввести систему координат и записать векторы через их координаты. Затем нужно воспользоваться определением сложения (или вычитания) векторов как геометрических операций и свойствами проекций на оси координат. Мы покажем, что операция над векторами переходит в операцию над их числовыми характеристиками — координатами.
Вычисление и обоснование. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат заданы два вектора a и b. Обозначим их координаты следующим образом: a={x1;y1;z1} и b={x2;y2;z2}. Это означает, что если отложить эти векторы от начала координат O, то конец вектора a будет иметь координаты (x1,y1,z1), а конец вектора b — (x2,y2,z2). Рассмотрим сумму векторов c=a+b. По правилу треугольника (или параллелограмма), если мы приложим начало вектора b к концу вектора a, то вектор суммы c будет направлен из начала a в конец b. Координаты конца вектора c будут равны сумме соответствующих координат концов векторов a и b, так как перемещение по каждой оси аддитивно. Таким образом, координаты вектора c равны {x1+x2;y1+y2;z1+z2}. Следовательно, каждая координата суммы равна сумме соответствующих координат слагаемых: xc=x1+x2, yc=y1+y2, zc=z1+z2 Аналогично доказывается утверждение для разности. Пусть d=a-b. Вычитание вектора эквивалентно сложению с противоположным вектором -b={-x2;-y2;-z2}. Тогда координаты вектора разности будут равны {x1-x2;y1-y2;z1-z2}. То есть каждая координата разности равна разности соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого.
Проверка результата. Утверждение логически следует из определения координат вектора как проекций этого вектора на оси координат. Поскольку проекция суммы двух векторов на любую ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось (projl(a+b)=projla+projlb), то и координаты (которые являются алгебраическими значениями проекций) обладают свойством линейности. Доказательство корректно для любого размерного пространства, включая трехмерное.
Доказано: если a={x1;y1;z1} и b={x2;y2;z2}, то a±b={x1±x2;y1±y2;z1±z2}.
В решении использован стандартный подход через определение координат вектора и свойства проекций. Текст структурирован по требованию: план, вычисление, проверка.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 643 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 643?
Краткий ответ: Доказано: если a=\x_1;y_1;z_1\ и b=\x_2;y_2;z_2\, то a± b=\x_1± x_2; y_1± y_2; z_1± z_2\.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Метод координат в пространстве. Движения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.