ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 645: Метод координат в пространстве. Движения
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
По данным рисунка 186 найдите координаты векторов AC, CB, AB, MN, NP, BM, OM, OP, если OA=4, OB=9, OC=2, а M, N и P — середины отрезков AC, OC и CB.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для начала определим координаты всех точек в пространстве. Поскольку векторы OA, OB и OC обычно изображаются на рисунках как взаимно перпендикулярные (образуя ребра прямоугольного параллелепипеда или углы при вершине O), примем точку O за начало координат (0;0;0). Направим оси так: ось x вдоль OA, ось y вдоль OB, ось z вдоль OC. Тогда координаты концов отрезков будут равны их длинам по соответствующим осям: A(4;0;0), B(0;9;0), C(0;0;2). Далее найдем координаты середин отрезков M, N и P. Координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Наконец, вычислим координаты векторов по формуле XY={xY-xX;yY-yX;zY-zX}.
Вычисление.
- Координаты точек:
- O(0;0;0)
- A(4;0;0)
- B(0;9;0)
- C(0;0;2)
- Координаты середин:
- M — середина AC: xM=4+0/2=2, yM=0+0/2=0, zM=0+2/2=1⇒M(2;0;1).
- N — середина OC: xN=0+0/2=0, yN=0+0/2=0, zN=0+2/2=1⇒N(0;0;1).
- P — середина CB: xP=0+0/2=0, yP=0+9/2=4.5, zP=2+0/2=1⇒P(0;4.5;1).
- Координаты векторов:
- AC=C-A={0-4;0-0;2-0}={-4;0;2}.
- CB=B-C={0-0;9-0;0-2}={0;9;-2}.
- AB=B-A={0-4;9-0;0-0}={-4;9;0}.
- MN=N-M={0-2;0-0;1-1}={-2;0;0}.
- NP=P-N={0-0;4.5-0;1-1}={0;4.5;0}.
- BM=M-B={2-0;0-9;1-0}={2;-9;1}.
- OM=M-O={2-0;0-0;1-0}={2;0;1}.
- OP=P-O={0-0;4.5-0;1-0}={0;4.5;1}.
Проверка.
Проверим некоторые соотношения. Например, вектор MN соединяет середины сторон AC и OC треугольника AOC. По теореме о средней линии он должен быть параллелен третьей стороне AO и равен половине её длины. Вектор AO=O-A={-4;0;0}. Наш вектор MN={-2;0;0} действительно составляет половину от AO (или параллелен ему). Это подтверждает правильность вычислений для точки M и N. Аналогично, NP соединяет середины OC и CB в треугольнике OCB, значит он параллелен OB и равен половине. OB={0;9;0}, а NP={0;4.5;0}, что совпадает с ожидаемым результатом.
AC{-4;0;2},CB{0;9;-2},AB{-4;9;0},MN{-2;0;0},NP{0;4.5;0},BM{2;-9;1},OM{2;0;1},OP{0;4.5;1}
В условии не указано явно, что OA, OB, OC взаимно перпендикулярны, но стандартная задача такого типа (метод координат в пространстве, рисунок 186 в учебниках Атанасяна/Шарыгина) подразумевает именно эту конфигурацию (угол при вершине куба/параллелепипеда). Если бы они не были перпендикулярны, задачу нельзя было бы решить без дополнительных данных об углах. Решение построено на предположении ортогональности осей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 645 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 645?
Краткий ответ: AC\-4; 0; 2\, CB\0; 9; -2\, AB\-4; 9; 0\, MN\-2; 0; 0\, NP\0; 4.5; 0\, BM\2; -9; 1\, OM\2; 0; 1\, OP\0; 4.5; 1\.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Метод координат в пространстве. Движения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.