ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 642: Метод координат в пространстве. Движения
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
На рисунке 185 изображён прямоугольный параллелепипед с рёбрами OA=2, OB=3, OO1=2. Найдите координаты векторов OA_1, OB_1, OO_1, OC, OC_1, BC_1, AC_1, O_1C в системе координат Oxyz.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для начала введём систему координат Oxyz так, как это обычно делается для прямоугольного параллелепипеда: начало координат совмещаем с вершиной O, ось Ox направляем вдоль ребра OA, ось Oy — вдоль ребра OB, а ось Oz — вдоль ребра OO1. Зная длины рёбер OA=2, OB=3, OO1=2, мы можем определить координаты всех вершин параллелепипеда. Координаты вектора, соединяющего две точки, равны разности координат конца и начала этого вектора. Если начало вектора находится в точке O(0;0;0), то координаты вектора просто совпадают с координатами его конца.
Вычисление координат вершин и векторов.
Определим координаты ключевых вершин:
- O(0;0;0)
- A(2;0;0) (так как OA=2 по оси x)
- B(0;3;0) (так как OB=3 по оси y)
- C(2;3;0) (вершина основания, противоположная O)
- O1(0;0;2) (так как OO1=2 по оси z)
- A1(2;0;2) (проекция A вверх на высоту 2)
- B1(0;3;2) (проекция B вверх на высоту 2)
- C1(2;3;2) (проекция C вверх на высоту 2)
- OA1 : конец A1(2;0;2), начало O(0;0;0). Координаты: (2-0;0-0;2-0)=(2;0;2).
- OB1 : конец B1(0;3;2), начало O(0;0;0). Координаты: (0-0;3-0;2-0)=(0;3;2).
- OO1 : конец O1(0;0;2), начало O(0;0;0). Координаты: (0;0;2).
- OC : конец C(2;3;0), начало O(0;0;0). Координаты: (2;3;0).
- OC1 : конец C1(2;3;2), начало O(0;0;0). Координаты: (2;3;2).
- BC1 : конец C1(2;3;2), начало B(0;3;0). Вычитаем координаты начала из координат конца: (2-0;3-3;2-0)=(2;0;2).
- AC1 : конец C1(2;3;2), начало A(2;0;0). Разность: (2-2;3-0;2-0)=(0;3;2).
- O1C : конец C(2;3;0), начало O1(0;0;2). Разность: (2-0;3-0;0-2)=(2;3;-2).
Проверка результата.
Проверим логичность полученных ответов через геометрический смысл. Вектор OA1 является диагональю боковой грани AA1O1O, его проекции на оси должны соответствовать размерам этой грани (2 и 2), что верно. Вектор BC1 равен вектору AD1 (если бы была точка D1) или можно заметить, что он параллелен OA1? Нет, BC1 идёт от B к C1. Проекция на x: смещение на длину OA=2. Проекция на y: смещения нет (B и C имеют одинаковую y=3, но C1 тоже y=3). Проекция на z: смещение на высоту 2. Итого (2;0;2), всё сходится. Вектор O1C идёт вниз по высоте, поэтому третья координата отрицательна (-2), что также корректно.
OA1(2;0;2), OB1(0;3;2), OO1(0;0;2), OC(2;3;0), OC1(2;3;2), BC1(2;0;2), AC1(0;3;2), O1C(2;3;-2)
В условии не дан рисунок, но стандартное расположение осей для параллелепипеда OABC-A1B1C1O1 подразумевает OA на Ox, OB на Oy, OO1 на Oz. Все вычисления основаны на этом предположении.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 642 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 642?
Краткий ответ: OA_1(2; 0; 2), OB_1(0; 3; 2), OO_1(0; 0; 2), OC(2; 3; 0), OC_1(2; 3; 2), BC_1(2; 0; 2), AC_1(0; 3; 2), O_1C(2; 3; -2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. Метод координат в пространстве. Движения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.