ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 611: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства неравенства между длинами отрезков в пространстве удобно использовать метод введения вспомогательной точки. Поскольку M и N — середины скрещивающихся отрезков AB и CD, выберем произвольную точку P (например, середину одного из диагональных отрезков или просто любую удобную точку) и выразим вектор MN через суммы векторов, связанных с сторонами четырехугольника ACBD. Однако более стандартный подход для таких задач — рассмотреть треугольник, образованный соединением середины одной стороны с концами другой, либо использовать векторное разложение.

Давайте применим векторный метод. Введем начало координат в произвольную точку O. Тогда радиус-векторы точек можно обозначить как a,b,c,d. Так как M — середина AB, то m=a+b/2. Так как N — середина CD, то n=c+d/2.

Вычисление.

Найдем вектор MN:

Заметим, что c-a=AC и d-b=BD. Таким образом:

Теперь возьмем модуль этого вектора, чтобы найти длину отрезка MN:

По неравенству треугольника для векторов известно, что модуль суммы двух векторов не превышает сумму их модулей:

Применяя это к нашим векторам AC и BD, получаем:

Следовательно:

Нам нужно доказать строгое неравенство MN<1/2(AC+BD). Равенство в неравенстве треугольника |u+v|=|u|+|v| достигается тогда и только тогда, когда векторы u и v сонаправлены (лежат на одной прямой и направлены в одну сторону).

Если бы AC и BD были сонаправлены, то прямые AC и BD были бы параллельны. Если две пары противоположных сторон четырехугольника (или пространственного многоугольника A-C-B-D-A) параллельны, это накладывает ограничения на взаимное расположение точек. Однако по условию задачи отрезки AB и CD не лежат в одной плоскости (они скрещиваются). Это означает, что точки A,B,C,D не компланарны. Векторы AC и BD не могут быть коллинеарными (сонаправленными или противоположно направленными), так как это потребовало бы параллельности прямых AC и BD, что в сочетании с тем, что M,N — середины скрещивающихся отрезков, привело бы к противоречию с условием некомпланарности или вырождению конфигурации в плоскую трапецию/параллелограмм, где отрезки AB и CD все же могли бы быть скрещивающимися? Нет, если AC∥BD, то точки A,B,C,D лежат в одной плоскости (так как через параллельные прямые проходит единственная плоскость). Но по условию AB и CD не лежат в одной плоскости, значит, вся фигура ACBD не является плоской. Следовательно, векторы AC и BD не коллинеарны.

Так как векторы не коллинеарны, неравенство треугольника является строгим:

Подставляя это обратно в выражение для MN:

Проверка.

Логика верна: мы выразили средний вектор через сумму диагональных векторов, применили неравенство треугольника и обосновали строгость неравенства фактом некомпланарности точек, что исключает коллинеарность векторов AC и BD. Утверждение доказано.