ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 608: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства неравенства AO<1/3(AB+AC+AD) воспользуемся свойствами медиан треугольника и векторным методом. Точка O является центром тяжести (центроидом) грани BCD. Нам нужно выразить вектор AO через векторы ребер, исходящих из вершины A, а затем оценить его длину с помощью неравенства треугольника для векторов.

Вычисление и доказательство.

1. Пусть M — середина ребра CD. Тогда отрезок BM является медианой треугольника BCD. По свойству медиан, точка пересечения медиан O делит медиану BM в отношении 2:1, считая от вершины B. Следовательно, BO=2/3BM.

2. Выразим вектор BM через векторы сторон треугольника BCD. Так как M — середина CD, то по правилу параллелограмма (или формуле для медианы):

BM=1/2(BC+BD)

Подставим это выражение в формулу для BO:

BO=2/3·1/2(BC+BD)=1/3(BC+BD)

3. Теперь найдем вектор AO. По правилу сложения векторов:

AO=AB+BO

Заменим BO на полученное выше выражение:

AO=AB+1/3(BC+BD)

4. Чтобы связать это с ребрами, выходящими из A, выразим BC и BD через векторы с началом в точке A:

BC=AC-AB, BD=AD-AB

Подставим эти равенства в выражение для AO:

AO=AB+1/3((AC-AB)+(AD-AB)) AO=AB+1/3(AC+AD-2AB) AO=AB+1/3AC+1/3AD-2/3AB AO=1/3AB+1/3AC+1/3AD AO=1/3(AB+AC+AD)5. Оценим длину вектора AO. Возьмем модуль обеих частей равенства:|AO|=|1/3(AB+AC+AD)|=1/3|AB+AC+AD|По неравенству треугольника для суммы трех векторов (|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|), имеем:|AB+AC+AD|≤|AB|+|AC|+|AD|Следовательно:AO≤1/3(AB+AC+AD) Проверка строгости неравенства. Неравенство превращается в равенство только тогда, когда все векторы AB,AC,AD сонаправлены. Однако в тетраэдре ABCD векторы, идущие из одной вершины к трем другим, не могут быть сонаправленными (иначе точки A,B,C,D лежали бы на одной прямой, что противоречит определению тетраэдра). Поэтому знак строгого неравенства сохраняется:$$AO Что и требовалось доказать.