10–11 классы Векторы в пространстве § 2. Векторы в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 606: Векторы в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Павел Лебедев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 605 607 →

Условие

Медианы грани ABC тетраэдра OABC пересекаются в точке M. Необходимо разложить вектор OA по векторам OB, OC и OM.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для разложения вектора OA по базису OB,OC,OM воспользуемся свойствами медиан треугольника и правилами сложения векторов. Точка M является центром тяжести (точкой пересечения медиан) грани ABC. Нам нужно выразить вектор, идущий из вершины тетраэдра в точку A, через векторы, идущие в другие вершины грани и в центр тяжести этой грани.

Вычисление.

1. Вспомним свойство точки пересечения медиан треугольника. Для любого треугольника ABC с центром тяжести M справедливо векторное равенство:

MA+MB+MC=0

2. Выразим векторы MA,MB,MC через векторы, исходящие из произвольной точки пространства (в нашем случае удобно взять начало координат или точку O, но так как нам нужны векторы OA,OB,OC, используем правило вычитания: XY=OY-OX).

Подставим это в равенство из пункта 1:

(OA-OM)+(OB-OM)+(OC-OM)=0

3. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

OA+OB+OC-3OM=0

4. Из полученного уравнения выразим искомый вектор OA:

OA=3OM-OB-OC

Проверка.

Проверим размерность и логику выражения. Если мы подставим найденное выражение обратно в формулу для центра тяжести, то получим:

OM=OA+OB+OC/3

Это известная формула радиус-вектора центра тяжести треугольника, если за начало отсчета принять точку O. Таким образом, наше преобразование верно. Коэффициенты при векторах OB и OC равны -1, а при OM равен 3, что согласуется с геометрическим смыслом: чтобы попасть в A из O, нужно «трижды» дойти до центра тяжести M и затем скорректировать путь, вычтя векторы к другим вершинам.

Ответ

OA=3\overrightarrow{OM} - OB-OC

Использовано фундаментальное векторное свойство центра тяжести треугольника: сумма векторов, направленных из центра тяжести к вершинам, равна нулю. Далее применено правило вычитания векторов относительно общего начала O.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 606 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 606?

Краткий ответ: OA = 3 OM - OB - OC.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Векторы в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.