ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 605: Векторы в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Точки M и N являются серединами ребер AB и A1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Нужно выразить следующие векторы через векторы AB и AD, если это возможно
а) AC
б) CM
в) C1N
г) AC1
д) A1N
е) AN
ж) MD.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 введем базисные векторы: a=AB, b=AD и c=AA1. Нам нужно выразить заданные векторы через a и b. Если в выражении остается вектор c (или его комбинация), то выразить вектор только через AB и AD невозможно. Точка M — середина ребра AB, значит AM=1/2AB. Точка N — середина ребра A1D1, значит A1N=1/2A1D1=1/2AD.
Вычисления по пунктам.
- а) Вектор AC. По правилу треугольника для основания параллелепипеда: AC=AB+BC. Так как BC=AD, получаем: AC=AB+AD.
- б) Вектор CM. Разложим путь от C к M: CM=CB+BM. Вектор CB=-AD. Вектор BM=-MB=-1/2AB. Тогда: CM=-AD-1/2AB.
- в) Вектор C1N. Разложим путь от C1 к N: C1N=C1C+CA+AN. Это сложно. Лучше пойти так: C1N=C1D1+D1N. Вектор C1D1=CD=-AB. Вектор D1N=-ND1=-1/2A1D1=-1/2AD. Тогда: C1N=-AB-1/2AD.
- г) Вектор AC1. AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1. В выражении присутствует вектор AA1, который не является линейной комбинацией AB и AD. Следовательно, выразить только через AB и AD невозможно .
- д) Вектор A1N. Так как N — середина A1D1, то A1N=1/2A1D1=1/2AD.
- е) Вектор AN. AN=AA1+A1N=AA1+1/2AD. Присутствует вектор AA1. Следовательно, выразить только через AB и AD невозможно .
- ж) Вектор MD. MD=MA+AD=-1/2AB+AD.
Проверка и итоговый ответ.
Сравним полученные результаты с ключом. Пункты а, б, в, д, ж совпадают. Для пунктов г и е ключ может содержать ошибку или подразумевать другой контекст, но строго математически они содержат компонент по высоте параллелепипеда (AA1), поэтому их нельзя выразить только через векторы основания. В школьной практике иногда просят выразить «насколько возможно», но здесь условие строгое: «через векторы AB и AD». Поэтому для г и е правильный вывод — невозможность.
а) AB+AD
б) -1/2AB-AD
в) -AB-1/2AD
г) невозможно
д) 1/2AD
е) невозможно
ж) -1/2AB+AD
В условии требуется выразить векторы строго через AB и AD. Векторы AC1 и AN имеют ненулевую проекцию на ось высоты (AA1), которая линейно независима от векторов основания. Поэтому их нельзя представить в виде xAB+yAD. Ключ ответа содержит пункт 'г' как A1N=0, что явно относится к другому вектору или опечатка в нумерации ключа, так как A1N=1/2AD≠0. Также в ключе нет ответов на 'е' и 'ж' в явном виде или они перепутаны местами с другими. Я привел математически корректное решение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 605 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 605?
Краткий ответ: а) AB+ AD; б) - 12 AB- AD; в) - AB- 12 AD; г) невозможно; д) 12 AD; е) невозможно; ж) - 12 AB+ AD.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Векторы в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.