ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 601: Векторы в пространстве

План решения:

Для разложения вектора AK по базисным векторам куба a=AB, b=AD и c=AA₁ воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника). Нам нужно пройти путь от точки A до точки K. Точка K является серединой ребра B₁C₁. Путь можно представить как сумму векторов: сначала от A к B, затем от B вверх к B₁, и наконец от B₁ до середины K. После нахождения коэффициентов при базисных векторах вычислим длину вектора через скалярное произведение или координатный метод.

Вычисление:

Разложим вектор AK на составляющие:

Выразим каждый слагаемый через заданные векторы a,b,c:

• AB=a;
• BB₁=AA₁=c (так как боковые ребра куба параллельны и равны);
• B₁K — это половина вектора B₁C₁. Вектор B₁C₁ равен вектору BC, который в свою очередь равен вектору AD=b. Следовательно, B₁K=1/2b.

Подставим полученные выражения в формулу для AK:

Теперь найдем длину вектора |AK|. Поскольку ребра куба взаимно перпендикулярны, векторы a,b,c ортогональны. Длина вектора, разложенного по ортогональному базису, находится как корень из суммы квадратов длин его проекций на оси базиса. Длины всех базисных векторов равны m (|a|=|b|=|c|=m).

Проверка:

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Пусть ось x направлена вдоль AB, ось y вдоль AD, ось z вдоль AA₁. Тогда координаты вершин куба будут: A(0;0;0), B(m;0;0), D(0;m;0), A₁(0;0;m). Координаты точки B₁ будут (m;0;m), а точки C₁ — (m;m;m). Так как K — середина B₁C₁, её координаты равны среднему арифметическому координат концов отрезка: x_K=m+m/2=m, y_K=0+m/2=m/2, z_K=m+m/2=m. Таким образом, K(m;m/2;m). Вектор AK имеет координаты (m;m/2;m). Его длина равна m²+(m/2)²+m²=2m²+m²/4=9m²/4=3m/2. Результат совпадает с полученным ранее.