ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 604: Векторы в пространстве

План решения.

Для разложения вектора DK по базису DA,DB,DC воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника) для векторов. Представим искомый вектор как сумму: DK=DA+AK. Далее нужно выразить вектор AK через векторы, исходящие из точки A к вершинам грани ABC, то есть через AB и AC. Поскольку AA₁ — медиана грани ABC, точка A₁ является серединой отрезка BC. Зная отношение деления медианы точкой K, мы сможем найти коэффициент при векторе AA₁, а затем выразить AB и AC через базисные векторы тетраэдра.

Вычисление.

1. По условию точка K делит медиану AA₁ в отношении 3:7, считая от вершины A. Это означает, что длина отрезка AK составляет 3/3+7=3/10 от длины всей медианы AA₁. В векторном виде это записывается так:

2. Так как A₁ — середина стороны BC треугольника ABC, то по правилу параллелограмма (или формуле для медианы):

3. Подставим выражение для AA₁ в формулу для AK:

4. Теперь вернемся к исходному равенству для DK:

5. Нам необходимо выразить векторы AB и AC через заданный базис DA,DB,DC. Используем правило вычитания векторов (XY=OY-OX, где O — начало координат или любая другая точка, здесь удобно взять точку D):

6. Подставим эти выражения в формулу для DK:

7. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые при базисных векторах:

8. Сложим коэффициенты при DA:

Таким образом, окончательное разложение имеет вид:

Проверка.

Проверим корректность коэффициентов. Если бы точка K совпадала с центром тяжести грани ABC (центроидом), то она делила бы медиану в отношении 2:1, и коэффициенты были бы другими. Здесь же отношение 3:7 дает вес 0.3 для медианы. Коэффициент при DA получился положительным (0.7), что логично, так как вектор DK направлен «внутрь» тетраэдра от вершины D, но смещен в сторону основания ABC. Сумма коэффициентов при векторах, исходящих из одной точки D к вершинам A,B,C, не обязана быть равна 1, так как конец вектора K лежит внутри тетраэдра, но не на плоскости ABC относительно начала в D? Нет, давайте проверим иначе. Выразим DK через DA,DB,DC. Точка K лежит на медиане AA₁. Координаты точки K в барицентрической системе координат тетраэдра можно проверить. Но проще всего перепроверить алгебраические преобразования. AK=0.3AA₁=0.15(AB+AC). DK=DA+0.15(DB-DA+DC-DA)=DA(1-0.15-0.15)+0.15DB+0.15DC=0.7DA+0.15DB+0.15DC. Дробь 0.15=3/20, 0.7=7/10. Расчеты верны.