ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 599: Векторы в пространстве

План решения.

Нам нужно выразить вектор DK через базисные векторы a=DA, b=AB и c=AC. Для этого воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника) для сложения векторов. Вектор DK можно представить как сумму векторов, идущих от точки D к точке K по цепочке промежуточных точек. Удобнее всего пройти путь D→A→B→K или D→A→C→K, так как точка K лежит на ребре BC.

Вычисление.

Рассмотрим путь из точки D в точку K через вершину A и середину ребра BC. Запишем разложение:

Теперь нужно выразить вектор AK. Так как K — середина отрезка BC, то по свойству медианы треугольника (или просто по определению середины) вектор AK равен полусумме векторов, идущих из начала A к концам отрезка B и C:

Подставим это выражение обратно в формулу для DK:

По условию задачи нам даны следующие обозначения:

• a=DA
• b=AB
• c=AC

Заменяем векторы в нашем равенстве на данные буквы:

Проверка.

Давайте проверим результат другим путем, например, через точку C. Путь D→A→C→K:

Так как K — середина BC, то CK=1/2CB. А вектор CB=CA+AB=-AC+AB=b-c.

Тогда CK=1/2(b-c).

Подставляем:

Результаты совпадают, решение верно.