10–11 классы Метод координат в пространстве § 3. Метод координат в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 594: Метод координат в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Анна Соколова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 593 595 →

Условие

Даны две параллелограммы ABCD и AB_1C_1D_1. Нужно доказать, что векторы BB_1, CC_1 и DD_1 компланарны.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства компланарности трёх векторов достаточно выразить один из них через линейную комбинацию двух других. Воспользуемся тем, что ABCD и AB_1C_1D_1 — параллелограммы, и применим правило сложения векторов (правило треугольника или параллелограмма) для нахождения выражений для векторов BB₁, CC₁ и DD₁ через общие базисные векторы.

Вычисление.

Рассмотрим вектор BB₁. По правилу треугольника:

BB₁=BA+AB₁

Аналогично найдём вектор CC₁:

CC₁=CB+BC₁

Так как ABCD — параллелограмм, то CB=DA. Также в параллелограмме AB_1C_1D_1 выполняется равенство BC₁=AD₁? Нет, давайте проще выразим всё через векторы, исходящие из точки A, так как у нас два параллелограмма с общей вершиной A.

Введём обозначения: пусть AB=a, AD=b, AB₁=c, AD₁=d.

Из свойств параллелограмма ABCD следует, что AC=a+b.

Из свойств параллелограмма AB_1C_1D_1 следует, что AC₁=c+d.

Теперь выразим искомые векторы:

BB₁=AB₁-AB=c-a
DD₁=AD₁-AD=d-b
CC₁=AC₁-AC=(c+d)-(a+b)

Преобразуем выражение для CC₁:

CC₁=c+d-a-b=(c-a)+(d-b)

Подставив найденные ранее выражения, получаем:

CC₁=BB₁+DD₁

Проверка и вывод.

Мы получили линейное соотношение между тремя векторами: CC₁=1·BB₁+1·DD₁. Согласно определению, если один из трёх векторов можно представить в виде линейной комбинации двух других, то эти три вектора компланарны. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ

Доказано: CC₁=BB₁+DD₁

Использован метод разложения по базису векторов, исходящих из общей вершины A. Ключевой момент — представление диагоналей параллелограммов как сумм смежных сторон.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 594 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 594?

Краткий ответ: Доказано: CC_1 = BB_1 + DD_1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.