ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 593: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства векторного равенства выразим искомый вектор FE через сумму векторов, идущих по «цепочке» от точки F к точке E. Используем свойства середины отрезка: если точка является серединой ребра, то сумма векторов из этой точки в концы ребра равна нулю. После получения выражения проанализируем линейную зависимость векторов для ответа на вопрос о компланарности.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим замкнутую цепочку векторов, соединяющую точку F с точкой E через вершины тетраэдра:

Так как F — середина ребра BD, то векторы FB и FD противоположны и равны по модулю, но нам удобнее использовать свойство середины относительно начала координат или просто разложить векторы. Более простой путь — использовать правило треугольника дважды или выразить через центры масс. Давайте воспользуемся следующим приемом: представим FE как половину суммы двух путей от B и D к A и C соответственно? Нет, проще напрямую. Вспомним, что для любой точки O: OE=1/2(OA+OC) и OF=1/2(OB+OD). Тогда: FE=OE-OF=1/2(OA+OC)-1/2(OB+OD) Сгруппируем слагаемые так, чтобы получить векторы сторон тетраэдра: FE=1/2(OA-OB)+1/2(OC-OD) По определению разности векторов OA-OB=BA и OC-OD=DC. Подставим эти значения: FE=1/2BA+1/2DC Умножим обе части равенства на 2: 2FE=BA+DC Что и требовалось доказать.

Проверка и анализ компланарности.

Из полученного равенства 2FE=BA+DC следует, что вектор FE является линейной комбинацией векторов BA и DC (а именно их полусуммой). По теореме о компланарности трех векторов, если один из них выражается через два других, то все три вектора лежат в одной плоскости (или параллельных ей). Следовательно, векторы FE, BA и DC компланарны .