ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 591: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства утверждений будем использовать метод от противного. Нам дано условие: векторы a+b и a-b не коллинеарны. Это означает, что не существует такого числа k, чтобы выполнялось равенство a+b=k(a-b). Мы предположим обратное для каждого пункта (что искомые векторы коллинеарны) и покажем, что это приводит к противоречию с исходным условием или к тривиальному случаю нулевых векторов, который обычно исключается в контексте задач на коллинеарность ненулевых комбинаций.

Вычисление и доказательство.

а) Докажем, что векторы a и b не коллинеарны.

Предположим противное: пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда существует число m такое, что b=ma (или a=0, или b=0).

Подставим это выражение в данные нам векторы:

Оба полученных вектора являются кратными одного и того же вектора a. Следовательно, они коллинеарны между собой (так как оба лежат на одной прямой, параллельной a, или равны нулю). Это противоречит условию задачи, которое гласит, что a+b и a-b не коллинеарны.

Значит, наше предположение неверно, и векторы a и b действительно не коллинеарны.

б) Докажем, что векторы a+2b и 2a-b не коллинеарны.

Предположим противное: пусть векторы u=a+2b и v=2a-b коллинеарны. Тогда существует число k такое, что:

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Из пункта а) мы уже доказали, что векторы a и b не коллинеарны. Для двух не коллинеарных векторов линейная комбинация равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда оба коэффициента при них равны нулю. То есть система должна быть совместной:

Решим первое уравнение: 2k=1⇒k=0.5.

Подставим найденное значение во второе уравнение: 2+0.5=2.5≠0.

Получаем противоречие: система не имеет решений. Значит, не существует такого числа k, при котором векторы были бы коллинеарны. Следовательно, векторы a+2b и 2a-b не коллинеарны.

Проверка.

Логика рассуждений верна. В пункте а) коллинеарность базисных векторов влечет коллинеарность их сумм и разностей. В пункте б) мы использовали факт из пункта а) о линейной независимости a и b, чтобы показать невозможность пропорциональности новых комбинаций. Оба вывода согласуются с геометрическим смыслом: если «диагонали» параллелограмма, построенного на a и b, не параллельны, то сами стороны a и b не параллельны, и любые другие существенные линейные комбинации (как в п. б) также не будут параллельны.