ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 586: Метод координат в пространстве

План решения:

• Сначала докажем коллинеарность векторов AM и MB, что следует из условия задачи. Это позволит утверждать, что точки A, B и M лежат на одной прямой.
• Затем выразим вектор OM через векторы OA и OB, используя правило треугольника (или многоугольника) для сложения векторов и данное соотношение между отрезками.

Вычисление и доказательство:

1. По условию дано равенство векторов AM=λMB, где λ≠-1. Поскольку один вектор является числовым кратным другого, они коллинеарны. Так как эти векторы имеют общую точку M, то все три точки A, B и M лежат на одной прямой. Первое требование задачи выполнено.
2. Для доказательства второй части равенства воспользуемся свойством разности векторов: XY=OY-OX для любой точки O. Запишем векторы AM и MB через радиус-векторы точек A, B и M относительно начала O: AM=OM-OA, MB=OB-OM.
3. Подставим эти выражения в исходное условие AM=λMB: OM-OA=λ(OB-OM).
4. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с OM в левой части уравнения: OM-OA=λOB-λOM, OM+λOM=OA+λOB, OM(1+λ)=OA+λOB.
5. Так как по условию λ≠-1, то коэффициент (1+λ) не равен нулю. Разделим обе части равенства на скаляр (1+λ): OM=OA+λOB/1+λ.

Проверка:

Если точка M совпадает с серединой отрезка AB, то λ=1. Формула даёт OM=OA+OB/2, что соответствует известному свойству медианы треугольника или формуле координат середины отрезка. Если λ=0, то AM=0, значит M=A. Формула даёт OM=OA/1=OA, что верно. Логика вывода корректна.